ויקיפדיה

מערכת מכוונת – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
העריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
התחלת עבודה, על בסיס ערך אחר שכתבתי מערכת פרויקטיבית
 
הרחבה
שורה 3:
'''מערכת מכוונת''' או '''מערכת מכוונת ישירה''' ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] מסוימת היא אוסף עצמים באותה קטגוריה ([[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] למשל) שלהם קיים יחס שקילות הבא: שני איברים בעצמים ''A'' ו-''B'' נקראים שקולים אם קיים עצם ''C'' המכיל את ''A'' ו-''B'' שבו שני העצמים שווים. ל"סדרות" של איברים מאוסף העצמים, עם יחס שקילות זה, קוראים "[[הגבול הישר]]" של המערכת המכוונת. מערכות מכוונות משמשות בין היתר ב[[אלגברה הומולוגית]] ו[[טופולוגיה אלגברית]]. למשל: [[קוהומולוגיית צ'ך]] מוגדר כגבול הישר של מערכת מכוונת של עידונים של [[כיסוי פתוח|כיסויים פתוחים]] של [[מרחב טופולוגי]].
 
<!--▼
== הגדרה ==
 
'''[[קבוצה מכוונת]]''' (directed set) היא קבוצה שמוגדר עליה [[סדר חלקי]] <math>( I , \le )</math>, ומקיימת: <math>\forallלכל שני אינדקסים ''i,'' ו-''j'' \inקיים Iאינדקס : \existsשלישי ''k'' \in I:כך ש-<math>i \le k , \mbox{ and } j \le k</math>i.
 
'''מערכת פרויקטיביתמכוונת ישירה''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] (נקרא להם עצמים) היא אוסף של עצמים <math>\left( X_i \right)_{i \in I}</math> בקטגוריה המתאימה בעלת קבוצת [[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]]ים שהיא קבוצה מכוונת, ביחד עם פונקציות הטלהשיכון <math>\pi_{ij} : X_jX_i \to X_i\X_j</math> המהוות [[מורפיזם|מורפיזמים]] בקטגוריה המתאימה, שמקיימות את התכונות הבאות:
# זהות עצמית: <math>\pi_mu_{ii} = \mathrm{id}_{X_i}</math>, הטלה של עצם על עצמו היא הזהות.
# הרכבה טרנזיטיבית: לכל <math>i,j,k \in I</math> שמקיימים <math>i \le j \le k</math> מתקיים <math>\pi_mu_{ijjk} \circ \pi_mu_{jkij} = \pi_mu_{ik}</math>, כלומר: להטיללשכן את <math>X_kX_i</math> על ב-<math>X_iX_k</math> שקול להטלתלשכן את <math>X_kX_i</math> על <math>X_j</math> ומשםואת להטילשיכון עלזה לשכן ב-<math>X_iX_k</math> באמצעות ההטלההשיכון של מ-<math>X_j</math> לב-<math>X_iX_k</math>.
 
נסתכל על איברי ה[[קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)|קו-מכפלה]] <math>X = \coprod_{i \in I} X_i</math> שהיא בעצם [[איחוד זר]] של כל העצמים במערכת.
'''הגבול ההפוך''' (inverse limit) <math>\lim_{\longleftarrow}X_i</math> של מערכת פרויקטיבית בקטגוריה מסוימת היא עצם באותה קטגוריה הכולל את כל ה"סדרות" שבהן ההטלות מקיימות את התכונה הבאה: <math>\pi_{ij}(x_j) = x_i</math> לכל <math>i \le j</math>. בנוסחה▼
כעת נגדיר [[יחס שקילות]] <math>\sim</math> על שני איברים בסדרה: יהיו <math>x_i \in X_i , x_j \in X_j</math>. נאמר שהם שקולים אם קיים ''k'' כך ש-<math>i \le k , \ j \le k</math>i ומתקיים בנוסף <math>\mu_{ik}(x_i) = \mu_{jk}(x_j)</math>. במילים אחרות, שני איברים הם שקולים אם הם נהיים שווים "בסופו של דבר" (כלומר: בתוך עצם גדול יותר).
: <math>\lim_{\longleftarrow}X_i = \left\{ (x_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}X_i \ | \ \forall i \le j : \pi_{ij}(x_j) = x_i \right\}</math> .
 
▲'''הגבול ההפוךהישר''' (inversedirect limit) <math>\lim_{\longleftarrowlongrightarrow}X_i</math> של מערכת פרויקטיביתמכוונת ישירה בקטגוריה מסוימת היא עצם באותה קטגוריה הכוללהמורכב אתמהאיחוד כלהזר ה"סדרות"של שבהןכל ההטלותהעצמים מקיימותביחד אתעם התכונהיחס הבאה:השקילות <math>\pi_{ij}(x_j)שהוגדר = x_i</math> לכל <math>i \le j</math>לעיל. בנוסחה
אם הקבוצה המכוונת היא <math>I = \mathbb{N} = \{ 1 , 2 , 3 , ... \}</math> את איברי הגבול ההפוך אפשר לרשום בצורה
: <math>x\lim_{\longrighttarrow}X_i = (x_n)_\prod_{ni \in \mathbb{N}I} =X_i / (x_n)_{n=1}^{\infty} = ( ... , x_n , ... , x_2 , x_1 )sim</math> .
 
▲<!--
== דוגמאות ==
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מערכת_מכוונת"