ממד קרול – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q1225713 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ממד קרול קרוי על-שם [[וולפגנג קרול]].
▲עבור חוג קומוטטיבי, ממד קרול הוא המספר המקסימלי של הכלות בשרשרת עולה של [[אידאל ראשוני|אידאלים ראשוניים]]. לכל [[אלגברה אפינית]] יש ממד קרול סופי, וחוגים בעלי ממד קרול סופי חולקים עם האלגברות האפיניות כמה תכונות חשובות.
==הגדרה==
נניח כי ''R'' הוא חוג, וכי <math>\,P_0,P_1,\dots,P_n</math> הם [[אידאל ראשוני|אידאלים ראשוניים]] ב''R'', כך ש<math>\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n</math>. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך ''n''. '''ממד קרול''' של ''R'' מוגדר להיות ה[[חסם עליון|חסם העליון]] של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים, והוא סופי או שווה לאינסוף.
'''ממד קרול הקלאסי''' עדין יותר. נאמר שאידיאלים מקסימליים הם בעלי עומק 0, ושלאידיאל ראשוני P יש עומק <math>\ \alpha</math> (כאשר <math>\ \alpha</math> [[מספר סודר|סודר]]) אם לכל ראשוני המכיל ממש את P יש עומק קטן מ-<math>\ \alpha</math>. ממד קרול הקלאסי הוא הסודר המינימלי המהווה עומק של כל הראשוניים בחוג. אם הממד הזה סופי, הוא מתלכד עם ההגדרה הקודמת. לחוג יש ממד קרול קלאסי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים.
==דוגמאות==
שורה 11 ⟵ 14:
* במקרה הכללי <math>\ \dim R + 1 \leq \dim R[x] \leq 2 \dim R + 1</math>, ואלו החסמים הטובים ביותר האפשריים על הממד של [[חוג הפולינומים]] במשתנה אחד מעל ''R''. לעומת זאת אם ''R'' הוא חוג [[חוג נתרי|נתרי]] מממד ''k'', אז ממד קרול של <math>\,R[x]</math> הוא בדיוק ''k+1''.
* בהמשך לדוגמה הקודמת, אם ''K'' שדה, אז ממד קרול של החוג <math>\,K[x_1,\dots,x_n]</math> הוא בדיוק ''n''.
== מקורות ==
* Dimension in Ring Theory, Nastasescu and van Oystaeyen, 1987.
[[קטגוריה:אלגברה]]
| |||