|
בחוג קומוטטיבי, האיחוד על פני שרשרת של אידאלים ראשוניים הוא אידאל ראשוני. לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי הטענה איננה נכונה.
== הספקטרום הראשוני ==
אוסף האידאלים הראשוניים של חוג, עם טופולוגיה מתאימה, נקרא ה'''ספקטרום''' של החוג. הספקטרום הוא [[מרחב טופולוגי]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] [[תכונת ההפרדה T0|T0]].
בחוג הפולינומים <math>\,k[x_1,\dots,x_n]</math> (כאשר <math>\,k</math> [[שדה סגור אלגברית]]), כל אידאל <math>\,I</math> מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-<math>\,I</math> מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; ראו בערך [[יריעה אלגברית]]. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות ממימד גבוה במרחב האפיני k<sup>n</sup>, בהכללה להתאמה של אידאלים מקסימליים (לפי [[משפט האפסים של הילברט]]) לנקודות, שמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור '''כל''' חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים [[טופולוגיה]] מתאימה (הכללה של [[טופולוגיית זריצקי]]), ו[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של [[מרחב מחויג]] מקומית. מרחב זה נקרא [[ספקטרום של חוג|הספקטרום של החוג]], או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת [[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]], שהן מושא המחקר הבסיסי של [[גאומטריה אלגברית|הגאומטריה האלגברית]] המודרנית.
== מיקום ==
* GD (או Going Down) אם כאשר Q מעל P ו- <math>\ P\subset P'</math>, יש גם אידאל ראשוני מעל 'P.
יש סוגים רבים של הרחבות שבהן מתקיימות תכונות אלה, או מקצתן. שתי התכונות הראשונות, בצירוף אחת משתי האחרונות, מספיקות כדי לקבוע שלשני החוגים יש אותו מימד קרול.
== ראו גם ==
* [[ספקטרום של חוג]]
[[קטגוריה: אלגברה]]
|
