הבדלים בין גרסאות בדף "עוצמה (מתמטיקה)"

מ
←‏מספרים מונים: הרטוגס -> הרטוג
מ (←‏מספרים מונים: הרטוגס -> הרטוג)
:<math>\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots \aleph_\omega, \aleph_{\omega + 1}, \dots</math>
 
מקובל לסמן ב-<math>\omega_\alpha</math> את המספר המונה שמתאים לעוצמה <math>\aleph_\alpha</math>. במידה ואקסיומת הבחירה לא מתקיימת, הסדרה הזו לא ממצה את כל העוצמות ויש עוצמות שלא שוות לאף <math>\aleph_\alpha</math> - אלו העוצמות של הקבוצות אותן לא ניתן [[סדר טוב|לסדר היטב]]. למרות זאת, אין אף עוצמה שגדולה מכל סדרת האלף, כלומר לכל קבוצה X אפשר למצוא מספר אלף <math>\mu = \aleph_\beta</math> כך שאין פונקציה חד חד ערכית <math>f:\mu\rightarrow X</math> (זהו [[מספר הרטוגסהרטוג]] של X).
 
סדרת האלף היא '''סדרה נורמלית''' (כלומר היא עולה ממש ולכל סודר גבולי <math>\alpha</math> מתקיים <math>\textstyle \aleph_\alpha = \sup_{\beta < \alpha} \aleph_\beta</math>) ולכן יש לה נקודות שבת, כלומר יש מונים שמקיימים <math>\mu = \aleph_\mu</math>. למשל, הגבול של הסדרה <math>\omega,\omega_{\omega},\omega_{\omega_{\omega}} \dots</math> הוא נקודת שבת של סדרת האלף.