הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קניג (תורת הקבוצות)"

הוספת הוכחה
מ (בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q1077462)
(הוספת הוכחה)
:<math>\mbox{cf}(2^\kappa) > \kappa</math>
ניתן להוכיח אותו על ידי הצבה <math>\lambda = 2^{\kappa}</math>, ואז אם [[הוכחה על דרך השלילה|נניח בשלילה]]: <math>\mbox{cf}(2^\kappa) \le \kappa</math> נקבל כי <math>\lambda^{\mbox{cf}(\lambda)} \le (2^{\kappa})^\kappa = 2^{\kappa} =\lambda</math>, בסתירה לטענה הקודמת.
== הוכחה ==
תהי <math>\textstyle f : \sum_{i \in A} B_i \rightarrow \prod_{i \in A} C_i</math> פונקציה, ונניח כי <math>|B_i| < |C_i|</math>, לכל i. נראה כי הפונקציה הזו איננה [[פונקציה על|על]].
 
לכל <math>i \in A</math>, נגדיר את הפונקציה f<sub>i</sub> על ידי צימצום הפונקציה f לקבוצה B<sub>i</sub> בקלט וצמצום הפלט רק לקואורדינטה ה-i שלו. אם נחשוב על איברי המכפלה כפונקציות עם קלט ב-A, אז <math>f_i(x) = f(x)(i)</math> עבור <math>x \in B_i</math>. הפונקציה הזו, <math>f_i : B_i \rightarrow C_i</math>, לא תהיה על בגלל שמתקיים <math>|B_i| < |C_i|</math>. לכן, ניתן לבחור <math>c_i \in C_i</math> שאינו בתמונה של f<sub>i</sub>.
 
נטען כי האיבר <math>c = \langle c_i | i \in A \rangle \in \prod C_i</math> לא נמצא בתמונת f, ובכך נסיים את ההוכחה. אחרת, היה לו מקור, <math>b \in B_i, \,i \in A</math>. אבל אז, הקואורדינטה ה-i של c, היתה נמצאת בתמונה של f<sub>i</sub>, וזו סתירה לצורה בה בחרנו את c.
 
השימוש באקסיומת הבחירה נעשה בשלב האחרון, בו טעננו כי c קיים (או באופן שקול, כאשר בחרנו לכל i את c<sub>i</sub>). ללא אקסיומת הבחירה קיים אוסף של קבוצות לא ריקות שמכפלתו ריקה. אוסף זה יסתור את משפט קניג באופן טריוויאלי.
==ראו גם==
* [[מונחים בתורת הקבוצות]]