חבורת קוקסטר: הבדלי גרסאות

הוסרו 568 בתים ,  לפני 8 שנים
אין תקציר עריכה
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קוקסטר''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (סופית או אינסופית), בעלת [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על ה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] ב[[מרחב וקטורי]] (שלו מתאימה [[תבנית ריבועית]], המגדירה לעתים קרובות [[מרחב מכפלה פנימית]]), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: [[אלגברת לי|אלגברות לי]], [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]], [[קומבינטוריקה]] ו[[גאומטריה]].
 
== הגדרה ==
== הגדרות פורמליות ==
'''חבורת קוקסטר''' <math>W</math> הינההיא חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math>, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ s_i^2=1</math> ו-<math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד,. כאשרהזוג <math>\ (m_{ij}W,S)</math> היאנקרא מטריצת'''מערכת קוקסטר,'''. ואםקבוצת <math>\היוצרים m_{ij}=\infty</math>של איןחבורה יחסאינה מהצורהנקבעת <math>(s_is_j)^m=1</math>באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.
'''מטריצת קוקסטר''' הינה מטריצה סמטרית עם ערכים [[מספר טבעי|טבעיים]] בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1 (כולל אינסוף).
 
את החזקות <math>\ m_{ij}</math> אפשר לאסוף ב'''מטריצת קוקסטר''', הינהשהיא מטריצה סמטריתסימטרית עם ערכים [[מספר טבעי|טבעיים]] (או אינסוף) בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1. (כוללהערך אינסוף בנקודה (i,j) מציין שאין יחס מהצורה <math>\ (s_is_j)^m=1</math>.
'''חבורת קוקסטר''' <math>W</math> הינה חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math>, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד, כאשר <math>\ (m_{ij})</math> היא מטריצת קוקסטר, ואם <math>\ m_{ij}=\infty</math> אין יחס מהצורה <math>(s_is_j)^m=1</math>.
 
הזוג <math>(W,S)</math> נקרא '''מערכת קוקסטר'''.
 
כדאי לשים לב, שקבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.
 
=== מסקנות מיידיות מההגדרות ===
במערכת קוקסטר <math>(W,S)</math> עם יוצרים <math>S=\{s_1,\dots,s_n\}</math> ויחסים המוגדרים על ידי מטריצת קוקסטר <math>\ (m_{ij})</math>
* <math>\Leftarrow m_{ii}=1</math> כל היוצרים מסדר 2.
* <math>\Leftarrow m_{ij}=2</math> <math>r_i</math> ו-<math>r_j</math> מתחלפים, הרי <math>r_ir_j=r_i(r_ir_jr_ir_j)r_j = (r_ir_i)r_jr_i(r_jr_j) = r_jr_i</math>.
 
הגדרת מטריצת קוקסטר כסימטרית חיונית, שכן אם <math>(xy)^m=1</math> אז: <math>(yx)^m=(yx)^myy=y(xy)^my=yy=1</math>.
 
=== דיאגרמת קוקסטר ===
דיאגרמת קוקסטר הינה דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי [[גרף (תורת הגרפים)| גרף]] בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math>, מחוברים בקשת אם <math>m_{ij}\geq 3</math> והקשת מסומנת ב-<math>m_{ij}</math> כאשר <math>m_{ij}\geq 4</math>. מהגדרה זו נובע שיוצרים שאינם מחוברים בקשת, מתחלפים זה עם זה. בפרט, החבורה המתאימה לגרף קוקסטר איזומורפית למכפלה הישרה של החבורות המתאימות למרכיבי הקשירות. משום כך, מספיק ללמוד את החבורות המתאימות לדיאגרמות קשירות.
 
מתקבל מהגדרות אלה ש:
* שני יוצרים מתחלפים אם ורק אם הם לא מחוברים בקשת בגרף.
* אם יש בגרף יותר מרכיב קשירות אחד החבורה הינה מכפלה ישרה של חבורות המשוייכות לרכיבי הקשירות בגרף.
 
== הקשר לשיקופים ==