ויקיפדיה

משטח סיבוב – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Shaitibber (שיחה | תרומות)
192 עריכות
אין תקציר עריכה
Shaitibber (שיחה | תרומות)
192 עריכות
אין תקציר עריכה
שורה 1:
[[File:Rotationskoerper animation.gif|thumb|left|סיבוב עקומה סביב ציר ה-z]]
{{אין לבלבל עם|משטח סיבוב}}
ב[[גאומטריה]] של המרחב, '''גוףמשטח סיבוב''' הוא הגוף הנוצר ע"י סיבוב [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] מסביבהמתקבל מסיבוב עקומה סביב ל[[ישר]] (שנקרא [[ציר סיבוב|ציר הסיבוב]]) שמונחהנמצא על אותו [[מישור (גאומטריה)|מישור]]. לדוגמה, אם נסובב [[עיגול|עיגול]] סביב ישר העובר דרך מרכזו נקבל [[כדור (גאומטריה)|כדור]].{{ש}}
לדוגמא, אם נסובב [[מעגל]] סביב ישר העובר דרך מרכזו נקבל [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]], ואילו אם נסובב את המעגל סביב ישר שחיצוני לו, נקבל [[טורוס]].
לפעמים נוהגים להשתמש במונח "גופי סיבוב" גם לתאר משטחים הנוצרים ע"י סיבוב עקומה, אך חשוב להבדיל בין השניים; בעוד שגוף סיבוב הוא צורה תלת-מימדית, משטח סיבוב הוא [[יריעה]] דו-מימדית.
 
==אופן החישוב==
==נפח גוף סיבוב==
בכדי לקבל ייצוג מתמטי למשטח סיבוב, ניתן להכפיל את [[תאור פרמטרי של עקום|הייצוג הפרמטרי של העקומה]] במטריצת סיבוב.{{ש}}
נפח גוף הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה <math>f(x)</math> לציר ה-x ולישרים <math>x=a</math> ו- <math>x=b</math> מסביב לציר ה-x הוא:
לדוגמא, אם נרצה ליצור פרבולואיד ע"י סיבוב הפרבולה <math>\{(x,y,z)|y=x^2,z=0 \}</math> מסביב לציר ה-y, נתחיל במציאת פרמטריזציה לפרבולה, שתהיה:{{ש}}
{{ש}}▼
<math>V = \pigamma \int_a^b f(t)=(t,t^2(x,0)</math> \,dx כאשר <math>-\infty <t< \infty</math>{{ש}}
{{ש}}
ההסבר לנוסחא הוא שבכדי לחשב את הנפח של גוף הסיבוב, נבנה צורה הדומה לו ע"י ערימת אוסף של דיסקות. מכך שנפחה של דיסקית נתון ע"י הנוסחא <math>\pi r^2 h</math> (כאשר <math>r</math> הוא רדיוס הדיסקה, ו-<math>h</math> הוא גובהה) ושרדיוס כל דיסקה שווה בקירוב לערך הפונקציה בסביבתו, נקבל את הנוסחא המבוקשת.
 
כעת, נכפיל את הפרמטריזציה של הפרבולה [[מטריצת סיבוב|במטריצת סיבוב]] מסביב לציר ה-y:{{ש}}
מקרה מיוחד שראוי לציון הוא של נפח גוף הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב השטח הכלוא בין הישרים <math>x=a</math> , <math>x=b</math> ו'''שתי''' פונקציות - f ו-g מסביב לציר ה-x. נוכל לעשות זאת ע"י חיסור נפח גוף הסיבוב של הצורה הפנימית מהחיצונית ונקבל שהנוסחא היא:
{{ש}}
<math>V = \pi \int_a^b \vert f^2(x) - g^2(x)\vert\,dx</math>▼
 
<math>
==שטח גוף סיבוב==
\begin{pmatrix}
שטחו החיצוני של גוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב השטח הכלוא בין הפונקציה (f(x לציר ה-x ולישרים x=a ו- x=b מסביב לציר ה-x הוא:
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}t \\ t^2 \\0\end{pmatrix}
▲</math>{{ש}}
 
ונקבל שהפרבולואיד המבוקש (בהצגה פרמטרית) הוא:{{ש}}
 
<math>\gamma (t,\theta)=(t\cos \theta ,t^2 ,-t \sin \theta)</math> כאשר <math>-\infty <t< \infty</math> ו- <math>0 < \theta \leq \pi </math>
{{ש}}
ב[[מערכת צירים קרטזית]], הפרבולואיד שנוצר מתואר ע"י אוסף הפתרונות למשוואה:{{ש}}
<math>A = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \, dx</math>▼
 
<math>y=x^2+z^2</math>
 
==דוגמאות==
[[תמונה:ParaboloidOfRevolution.png|ממוזער|100px|פרבולואיד אליפטי]]
=== פרבולואיד ===
{{הפניה לערך מורחב|פרבולואיד}}
כפי שניתן לראות בדוגמא לעיל אם נסובב פרבולה מסביב לציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, אך לא כל פרבולואיד הוא משטח סיבוב של פרבולה.{{ש}}
למעשה, הפרבולואיד היחיד המתקבל מסיבוב פרבולה הוא פרבולואיד אליפטי עם שני צירים שווים, המיוצג במערכת צירים קרטזית כאוסף הפתרונות של המשוואה:{{ש}}
: <math>\tilde{z} = \frac{\tilde{y}^2}{a^2}+\frac{\tilde{x}^2}{a^2}</math>
 
{|style="float: left; margin: 10px; border: 1px #8080ff solid"
|-
||<center>[[תמונה:OblateSpheroid.PNG|180px]]</center>
||<center>[[תמונה:ProlateSpheroid.png|120px]]</center>
|-
|style="text-align: center"|''ספרואיד אובלי''
|style="text-align: center"|''ספרואיד פרובלי''
|}
=== ספרואיד ===
 
{{הפניה לערך מורחב|ספרואיד}}
'''[[ספרואיד]]''' הוא משטח הסיבוב הנוצר מסיבוב [[אליפסה]] מסביב לאחד משני צירי הסימטריה שלה. מסיבוב האליפסה מסביב לציר הראשי שלה נקבל ספרואיד פרובלי ומסיבובה מסביב לציר המשני שלה נקבל ספרואיד אובלי.{{ש}}
במערכת צירים קרטזית, משוואת הספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z נתונה ע"י אוסף הפתרונות של המשוואה:
: <math>\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>
הספרואיד הוא [[מקרה פרטי]] של [[אליפסואיד]] בו שניים מהצירים שווים.
 
== שטח ==
הנוסחא לחישוב שטחו של משטח סיבוב זהה לנוסחא לחישוב שטחו החיצוני של גוף סיבוב:{{ש}}
▲<math>VA = 2\pi \int_a^b bf(x)\vert sqrt{1+\left(f^2'(x) - g\right)^2(x)\vert} \, dx</math>{{ש}}{{ש}}
בעקום הנתון בהצגה פרמטרית <math>\gamma (t)=(x(t),y(t))</math> ניתן לחשב את השטח של משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב העקום מסביב לציר ה-y ע"י הנוסחא:{{ש}}
:<math> A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \ dt </math>{{ש}}
באופן דומה ניתן לחשב את שטחו של משטח הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב העקום מסביב לציר ה-x:{{ש}}
▲:<math>A A_x = 2 \pi \int_a^bfb y(xt) \ \sqrt{1+\left(f'(x{dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dxdt </math>
 
== ראו גם ==
 
* [[גאומטריה אנליטית]]
 
[[קטגוריה:חשבוןגאומטריה אינפיניטסימליאנליטית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משטח_סיבוב"