הבדלים בין גרסאות בדף "הומיאומורפיזם"

מ
אין תקציר עריכה
מ (בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q202906)
מ
=== הגדרה פורמלית של רציפות בטופולוגיה ===
 
יהיו <math> ( Y , \mathbb{O}_Y ) </math> ו -<math> ( X , \mathbb{O}_X ) </math> מרחבים טופולוגיים.
 
נאמר שהעתקה <math>\ f: X \to Y</math> היא '''[[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]]''' אם המקור של כל קבוצה פתוחה הוא בעצמו קבוצה פתוחה. בניסוח פורמלי: לכל <math>\ V_Y \in \mathbb{O}_Y</math> הקבוצה
: <math>\ V_xV_X = f^{-1}(V_Y) = \{ x \in X \ | \ f(x) \in V_Y \}</math>
היא [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, כלומר: <math>\ V_xV_X \in \mathbb{O}_X</math>.
 
הגדרה זו היא הכללה של מושג ה[[רציפות]] ממרחבים מטריים.
 
=== משפט ===
 
התכונות הבאות לגבי העתקה <math>\ f: X \to Y</math> בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:
# ההעתקה <math>\ f</math> היא פונקציה רציפה.
# התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת-ב[[תת בסיס]] של הטופולוגיה ב-<math>\ Y</math> .
# התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"[[קבוצה סגורה]]".
# <math>\ f</math> רציפה נקודתית בכל <math>\ x</math> במרחב. כלומר, לכל <math>\ x</math>, לכל סביבה <math>\ V</math> של <math>\ f(x)</math> קיימת סביבה <math>\ W</math> של <math>\ x</math> כך ש-<math>\ Ff(W) \subsetsubseteq V</math>.
# לכל <math>\ A \subsetsubseteq X</math> מתקיים: <math>\ f\!\left(\baroverline{A}\right) \subsetsubseteq \overline{ Ff(A) }</math> כאשר <math>\overline{B}=\operatorname{cl}(B)</math> הוא ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של קבוצה <math>\ B</math>.
 
=== תכונות ===
 
* הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
 
== הומיאומורפיזם ==
כדי להראות ש-<math>\ f</math> חח"ע ועל היא הומיאומורפיזם מספיק להראות ש:
# ההעתקה <math>\ f</math> רציפה.
# ההעתקה <math>\ f</math> פתוחה: לכל <math>\ V \subsetsubseteq X</math> [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(V) \subsetsubseteq Y</math> פתוחה ב-<math>\ Y</math>.
או ש:
# ההעתקה <math>\ f</math> רציפה.
# ההעתקה <math>\ f</math> סגורה: לכל <math>\ F \subsetsubseteq X</math> [[קבוצה סגורה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(F) \subsetsubseteq Y</math> סגורה ב-<math>\ Y</math>.
 
== משמעות ושימושיים ==