מתמטיקה עיונית – הבדלי גרסאות

== תחומים במתמטיקה הטהורה ==

[[אנליזה]] עוסקת בתכונות הפונקציה. היא כוללת מושגים כגון [[רציפות]], [[גבול של פונקציה]], [[נגזרת]], ו[[אינטגרל]]ים, ובכך מספקת יסוד קפדני לחשבון אינפיטסימלי (נקרא גם קלקולוס או חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) כפי שהוצג על-יד [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד לייבניץ]] במאה ה-17. [[אנליזה ממשית]] חוקרת פונקציות של מספרים ממשיים, בעוד ש[[אנליזה מרוכבת]] מרחיבה את המחקר גם לתחום ה[[מספר מרוכב|מספרים המרוכבים]]. [[אנליזה פונקציונלית]] היא ענף של האנליזה שחוקרת [[מרחבים וקטוריים ממימד אינסופי]], ושרואה בפונקציות כנקודות במרחבים הללו.

[[גאומטריה]] היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמה, [[גאומטריה פרויקטיבית]] עוסקת בטרנספורמציות [[היטל (גאומטריה)|היטליות]] שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד ש[[אינוורסיה]] עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף ה[[טופולוגיה]] אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות.

[[תורת המספרים]] הינה התאוריה של המספרים השלמים החיוביים. היא מבוססת על רעיונות דוגמת [[מבחני התחלקות|התחלקות]] ו[[קונגרואנציה]] (יחס שקילות). [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] מציין שכל שלם חיובי ניתן [[פירוק לגורמים של מספר שלם|לפירוק לגורמיו הראשוניים]] ושאותה פקטוריזציה ראשונית הינה ייחודית רק לו. מבחינות מסוימות, תורת המספרים הוא הענף הכי נגיש מבין תחומי המתמטיקה הטהורה: לדוגמה, [[השערת גולדבך]] ניתנת להבנה בקלות (גם אם טרם הוכחה או הופרכה). מאידך, במובנים מסוימים תורת המספרים היא הדיסציפלינה הכי פחות נגישה לציבור הרחב; לדוגמה הוכחתו של [[אנדרו וויילס]] (שאורכה כמאה עמודים) ש[[המשפט האחרון של פרמה|למשוואתו של פרמה]] אין פתרונות לא-טריוויאלים דורשת הבנה בתבניות אוטומורפיות, שעל-אף זיקתן לטבע, טרם נמצא להן יישום בפיזיקה.