פונקציה חסומה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 84.111.18.29 (שיחה) לעריכה האחרונה של Legobot |
MathKnight (שיחה | תרומות) הרחבה |
||
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
ב[[אנליזה מתמטית]], '''פונקציה חסומה''' היא [[פונקציה]], בדרך-כלל [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]], שכל ערכיה קטנים (או שווים) ב[[ערך מוחלט|ערכם המוחלט]] ממספר קבוע כלשהו. אומרים שהפונקציה '''חסומה בתחום
==
פונקציה <math>f : A \to \mathbb{R}</math> היא חסומה [[אם ורק אם]] ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] שלה, <math>\operatorname{Im}f = f(A)</math> היא [[קבוצה חסומה]]. בפרט, פונקציה היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה מוכלת בתוך [[קטע סגור]].
כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה. באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים [[מספר ממשי|ממשיים]] היא חסומה.▼
לפי '''[[משפט ויירשטראס הראשון]]''', כל פונקציה [[רציפות|רציפה]] ב[[קטע סגור]] חסומה בו. זהו [[מקרה פרטי]] של תכונה כללית יותר: כל [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] המוגדרת על [[מרחב קומפקטי]] היא חסומה.
'''טענה:''' פונקציה היא חסומה [[אם ורק אם]] היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה.
*הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(x)</math> חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ- 1.▼
: '''הוכחה:''' תהי <math>f : A \to \mathbb{R}</math> פונקציה חסומה גם מלמעלה וגם מלמטה, כלומר: קיימים <math>-\infty m \le M < \infty</math> כך ש-<math>m \le f(x) \le M</math> לכל <math>x \in A</math>. נבחר <math>S = \max \{ |m| , |M| \}</math>. אזי <math>|f(x)| \le S</math> לכל <math>x \in A</math>. הכיוון השני הוא טריוויאלי, שכן <math>|f(x)| \le S</math> גורר <math>-S \le f(x) \le S</math>.
== דוגמאות ==
▲כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה. באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים [[מספר ממשי|ממשיים]] היא חסומה.
▲*הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(x)</math> חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ-
*הפונקציה <math>f(x) = x</math> אינה חסומה, כי לכל חסם <math>M</math>, מתקיים <math>|f(M+1)|=M+1>M</math>.
*הפונקציה <math>f(x) = x</math> חסומה בתחום <math>(0,1)</math>. לכל נקודה בתחום מתקיים <math>|f(x)| = x<1</math>.
*הפונקציה <math>f(x)=\frac1x</math> אינה חסומה בתחום <math>(0,1)</math>. נניח כי היה קיים חסם <math>M</math>. נבחר מספר טבעי <math>n</math> הגדול מ-<math>M</math>. מכיוון ש-<math>0<1/n<1</math>, נקבל את הסתירה <math>|f(1/n)| = n>M</math>.
* הפונקציה <math>f(x)=e^x</math> חסומה מלמטה כי <math>e^x > 0</math> לכל <math>x \in \mathbb{R}</math> אך איננה חסומה מלמעלה.
* הפונקציה <math>f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}</math> חסומה. מלמטה היא חסומה על ידי 0 כי היא תמיד חיובית ומלמעלה היא חסומה על ידי 1 שכן <math>1 \le 1 + x^2</math> לכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||