גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות

גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת '''מרחב לינארי''' אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב לינארי היא '''תת-מרחב''' אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא '''תת-המרחב הנוצר''' על-ידי S. תת-המרחב הנוצר על-ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא '''מישור'''. מרחב לינארי נקרא '''מישור פרוייקטיבי''' אם כל שני ישרים נפגשים בנקודה. מרחב לינארי המקיים את [[אקסיומת המקבילים]] (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר שאינו נחתך עם t) נקרא '''מישור אפיני'''. סילוק ישר אחד ממישור פרוייקטיבי מניב מישור אפיני, ולהיפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרוייקטיבי על-ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.

 

 

בדומה להגדרות ב[[אלגברה לינארית]], המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר '''בסיס''' של מרחב פרוייקטיבי P כקבוצה S שהיא '''פורשת''' (כלומר S יוצרת את P) ו'''בלתי תלויה''' (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרוייקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את [[הלמה של צורן]]). הבסיסים של מרחב פרוייקטיבי P מקיימים את [[למת ההחלפה של שטייניץ]], וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל -- וזהו, על-פי ההגדרה, ה[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים <math>\operatorname{dim}(\langle U,U'\rangle) = \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(U')-\operatorname{dim}(U\cap U')</math>.

 

== מקורות ==