הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב דואלי"

נוספו 852 בתים ,  לפני 7 שנים
ייתוּם
(ייתוּם)
'''המרחב הדואלי''' הוא מבנה טבעי המוגדר עלשל [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F., זהואו מרחבהכללה הכוללשל אתמרחב כלכזה, ה[[העתקההוא לינארית|העתקותהמרחב הלינאריות]]של מ-Vכל לשדההפונקציות F.מן העתקההמרחב מסוגלשדה זה מכונה [[פונקציונל לינארי]]הבסיס. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].
 
==הגדרת המרחב הדואלי של מרחב וקטורי ==
 
יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>. '''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' הוא המרחב הווקטורי <math>\ V^* </math> שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\ V \to F</math>, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]].
=== מעל מרחב וקטורי ===
 
אם V בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]] (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את V כ[[סכום ישר]] של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא [[מכפלה ישרה]] של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.
יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>.
 
אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא [[מרחב מכפלה פנימית]], המצב נוח יותר: ההתאמה <math>\ x \mapsto \varphi_x</math> כאשר <math>\ \varphi_x : y \mapsto (x,y)</math> מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).
'''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' שיסומן ב-<math>\ V^* </math> הוא המרחב הווקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\ V \to F</math>. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]]. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית. כיוון שגם מרחב זה הוא מרחב וקטורי, גם לו יש מרחב דואלי; בין מרחב זה, המסומן ב-<math>\ V^{**} </math> למרחב המקורי יש [[איזומורפיזם]] טבעי (כלומר, שאינו תלוי בסיס) שנקרא [[איזומורפיזם ההצבה]].
 
לעומת זאת, יש שיכון טבעי <math>\ V \hookrightarrow V^{**}</math> אפילו ללא מכפלה פנימית: הוקטור x מתאים לפונקציונל <math>\ s_x : V^*\rightarrow F</math> המוגדר על-ידי <math>\ s_x(f) = f(x)</math>. גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.
 
=== מעל מרחב בנך ===