הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב דואלי"

הוסרו 881 בתים ,  לפני 7 שנים
אין תקציר עריכה
(ייתוּם)
לעומת זאת, יש שיכון טבעי <math>\ V \hookrightarrow V^{**}</math> אפילו ללא מכפלה פנימית: הוקטור x מתאים לפונקציונל <math>\ s_x : V^*\rightarrow F</math> המוגדר על-ידי <math>\ s_x(f) = f(x)</math>. גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.
 
=== מעלהמרחב הדואלי של מרחב בנך ===
 
יהי <math>\ X</math> [[מרחב בנך]] מעל [[שדה (מבנההמספרים אלגברי)|הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> או מעל [[שדה סקלריהמספרים המרוכבים]] <math>\ F\mathbb{C}</math>, שנסמן ב-F. אזיכמו בכל מרחב וקטורי, [[פונקציונל]] <math>\ \Phi : X(F) \to F</math> הוא פונקציה המתאימהלינארית לכלמן איברהמרחב במרחבאל מספרשדה כלשהו מהשדה <math>\ F</math>הבסיס.
 
מגדירים [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של פונקציונל כפי שמגדירים [[נורמה על כלשל אופרטור]] במרחב נורמי, באופן הבא:
נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל <math>\ X</math> בסימון <math>\ X^\#</math>. זהו [[מרחב לינארי]]. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת ה[[טרנספורמציה לינארית|לינאריות]].
 
מגדירים [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:
: <math>\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | }
{\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }</math>
אזי תמיד מתקיים ש <math>\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|</math>.
 
פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( <math>\ \| \Phi \| < \infty</math>) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט [[רציפות|פונקציונל רציף]] לפי [[תנאי ליפשיץ]].
 
את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך]] - הוא לינארי, הואהקרוי נורמי,"'''המרחב והואהדואלי'''" שלם. למרחבשל <math>\ X^*</math>. קוראיםאם X איזומורפי למרחב הדואלי שלו, הוא נקרא "'''המרחבמרחב הדואלירפלקסיבי'''". שלכל <math>\[[מרחב X</math>הילברט]] הוא רפלקסיבי, לפי [[משפט ההצגה של ריס]].
 
למרחב הדואלי יש חשיבות רבה ב[[אנליזה פונקציונלית]].
 
==הבסיס הדואלי==
 
אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כ[[וקטור קואורדינטות|וקטורי קואורדינטות]], אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא [[מכפלה סקלרית]].
 
==ההעתקה הדואלית==
 
תהי <math>\ T: V \to W</math> העתקה לינארית.
ההעתקה <math>\ T^*: W^* \to V^*</math> המוגדרת על ידי
<math>\ T^*(w^*)(v)=w^*(T(v))</math>
תקרא '''ההעתקה הדואלית של <math>\ T</math>'''.
 
אם <math>\ A</math> היא המטריצה המייצגת של <math>\ T</math> ביחס לבסיסים כלשהם של <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> אז המטריצה
<math>\ A^*</math> תייצג את <math>\ T^*</math> בבסיסים הדואליים המתאימים.
 
== ראו גם ==