חבורה חופשית – הבדלי גרסאות

'''חבורה חופשית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שקבוצת ה[[יוצרים של חבורה|יוצרים]] שלה <math>\ X</math> אינה מקיימת אף [[הצגה לפי יוצרים ויחסים|יחס]]. בחבורה כזו, כל איבר הוא מלהמילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים <math>\ x, x^{-1}</math> עבור <math>\ x\in X</math>, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה <math>\ xx^{-1}</math> או <math>\ x^{-1}x</math>. הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- <math>\ \langle X\rangle</math>. ראו גם [[מונואיד חופשי]]. <!-- הקישור דווקא צריך להיות כאן ולא בסוף. -->

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מלהמילה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט ל[[בעיתבעיית המלההמילה (תורת החבורות)|בעיתבעיית המלההמילה]] ו[[בעיה הצמידות (תורת החבורות)|בעית הצמידות]].

<math>\ \psi :F \rightarrow G</math> המקיים <math>\psi\circ\phi=f</math>, כאשר <math>\ \phi: X \rightarrow F</math> הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים [[אפימורפיזם]] <math>\ \langle X\rangle \rightarrow G</math>, ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כ[[חבורת מנה]] של חבורה חופשית. אם <math>\ G \cong F/N</math> כאשר <math>\ F=\langle X\rangle</math> חופשית, אז <math>\ N=\langle R \rangle</math> חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים '''יחסים''' של G. המנה <math>\ \langle X\rangle/\langle R\rangle</math> מסומנת ב- <math>\ \langle X|R\rangle</math> ונקראת '''[[הצגה לפי יוצרים ויחסים|הצגה]]''' של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).