זרימה טורבולנטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הערות שוליים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
חתן פרס הנובל ריצ'ארד פיינמן תיאר זרימה טורבולנטית בתור "הבעיה הלא פתורה החשובה ביותר של הפיסיקה הקלאסית."<ref>[http://www.usatoday.com/tech/science/columnist/vergano/2006-09-10-turbulence_x.htm <span lang="EN">"Turbulence theory gets a bit choppy"</span>]<span lang="EN">. ''USA Today''. September 10, 2006.</span>
</ref> כמו כן, לפי אגדת עם, כאשר [[ורנר הייזנבג]] נשאל מה הוא היה שואל את אלוהים לו ניתנה
== ערכים ממוצעים ==
שורה 24:
אם ניקח זמן T מספיק גדול כך שיכיל הרבה מערבולות אך קטן מהזמן האופייני של המערכת, נוכל לפתח את [[משוואת רציפות|משוואת הרציפות]] הממוצעת:
<math>\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{v}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{w}}{\partial x}=0</math>
ואת משוואת הרציפות עבור החלק התונד: <math>\frac{\partial u'}{\partial x}+\frac{\partial v'}{\partial x}+\frac{\partial w'}{\partial x}=0</math>.
ומ[[משוואות נאוויה-סטוקס]] בכיוון x נקבל את הקשר:
<math>\frac{\partial \overline{u}}{\partial t}+\overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\overline{v}\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}+\overline{w}\frac{\partial \overline{u}}{\partial z}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{p}}{\partial x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{z}^{2}}} \right)+\left( \frac{\partial }{\partial x}\overline{\left( u{{'}^{2}} \right)}+\frac{\partial }{\partial y}\overline{\left( v'u' \right)}+\frac{\partial }{\partial z}\left( \overline{w'u'} \right) \right)</math>
כאשר האיבר <math>\left( \frac{\partial }{\partial x}\overline{\left( u{{'}^{2}} \right)}+\frac{\partial }{\partial y}\overline{\left( v'u' \right)}+\frac{\partial }{\partial z}\left( \overline{w'u'} \right) \right)</math> נקרא איבר מאמצי ריינולדס.
באופן כללי נקבל מטריצת מאמצי ריינולדס:
שורה 52 ⟵ 56:
== מודל אורך הערבוב של פרנדטל==
התיאוריה של פרנדטל מציגה ביטויים ל<math>u'</math> ול<math>v'</math> בעזרת אורך ערבוב l וגרדיאנט מהירות <math>{}^{d\overline{u}}\!\!\diagup\!\!{}_{dy}\;</math> כאשר y זה המרחק הנורמלי לu שנמדד לרוב מהגבול. פרנדטל הניח, שבדומה לגז, בו מולקולה אחת עוברת [[מהלך חופשי ממוצע]] לפני שמתנגשת בשניה; כך גם חלקיק בזורם עובר מרחק l לפני שהתנע שלו משנה בסביבה החדשה. בעזרת שימוש בהשוואה הזו ובמשוואת הרציפות, הוא קיבל כי הקשר בין התנודתיות <math>u'</math> ו <math>v'</math> לאורך l הינו: <math>v'\tilde{\ }u'\tilde{\ }l\frac{d\overline{u}}{dy}</math>.
כלומר, השינוי במהירות תלוי בשינויים בממוצע בזמן של המהירות בשני נקודות במרחק l אחד מהשני בכיוון y. המשוואה השולטת לאורך הערבוב שהוא קיבל הינו:
<math>\overline{{{\tau }_{turb}}}=-\rho \overline{u'v'}=\rho \overline{{{l}^{2}}}{{\left( \frac{d\overline{u}}{dy} \right)}^{2}}</math>
כאשר <math>\tau </math> גורם לפילוג המהירות להפוך ליותר אחיד. היחס בין l למרחק לקיר y לא ניתן בפיתוח של פרנדטל. [[תיאודור פון קרמן]] הציע את הקשר: <math>l=\kappa \frac{{du}/{dy}\;}{{{{d}^{2}}u}/{d{{y}^{2}}}\;}</math> כאשר <math>\kappa </math> הינו קבוע אוניברסלי לזרימה טורבולנטית, שאינו תלוי בתנאי השפה או במספר ריינולדס. <math>\kappa =0.4</math><ref>{{cite book | last = Streeter | first = Victor | title = Fluid mechanics | publisher = WCB/McGraw Hill | location = Boston | year = 1998 | isbn = 0070625379 }}</ref>▼
כאשר <math>\tau </math> גורם לפילוג המהירות להפוך ליותר אחיד.
▲
== שכבת גבול טורבולנטית ==
=== משוואות ריינולדס הממוצעות לשכבת גבול טורבולנטית ===
למקרה דו-מימדי, בלתי דחיס ותמידי:
<math>\overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\overline{v}\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{p}}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial y}\left( \mu \frac{\partial \overline{u}}{\partial y}-\overline{u'v'} \right)</math>
<math>\frac{\partial \overline{p}}{\partial y}=-\rho \frac{\partial }{\partial y}\left( \overline{v{{'}^{2}}} \right)</math>
<math>\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{v}}{\partial y}=0</math>
לא קיים פתרון מדוייק לנוסחאות אלו, אך בעזרת [[אנליזה ממדית]] ניתן לפשט את הבעיה ולמצוא דמיות בין מקרים שונים. האנליזה הממדית מבוססת על הגדרת מהירות חיכוך <math>{{u}_{\tau }}=\sqrt{\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho }}</math>, מהירות מנורמלת <math>{{u}^{+}}=\frac{u}{{{u}_{\tau }}}</math>, ומרחק מנורמל <math>{{y}^{+}}=\frac{y{{u}_{\tau }}}{\left( {\scriptstyle{}^{\mu }\!\!\diagup\!\!{}_{\rho }\;} \right)}=\frac{y{{u}_{\tau }}}{\nu }</math>.
=== המודל הלוגריטמי של פון קרמן ===
[[תיאודור פון קרמן]] הציע מודל:
<math>{{u}^{+}}=\frac{1}{\kappa }\ln \left( {{y}^{+}} \right)+C</math>
כאשר הקבועים <math>\kappa ,C</math> נקבעים על ידי ניסויים ונכונים עבור גיאומטריות ומספרי ריינולדס קרובים לאלו שהיו בניסוי. בצינורות חלקים, קרוב לגבול <math>\kappa </math> (קבוע פון קרמן) נמצא להיות בקירוב 0.4, והערך C נמצא להיות 5.5.<ref name=":0" />
ובצורה מימדית המשוואה היא מהצורה:
<math>u=\frac{{{u}_{\tau }}}{\kappa }\ln \left( \frac{y{{u}_{\tau }}}{\mu c} \right)</math>
=== שכבות בשכבת הגבול ===
[[File:Boundries within boundry layer.JPG|thumb|שכבות בתוך שכבת הגבול]]
באזור הטורבולנטי של שכבת הגבול, ישנה חלוקה לתתי שכבות - אזור טורבולנטי, אזור מעבר ואזור למינרי. זאת, כיוון שממש צמוד לקיר נקבל מהירויות אפסיות ובהגדלה מספיק משמעותית, כל ערבול מורכב מקווי זרם למינריים. עבור לוח שטוח מעבר לשכבת גבול טורבולנטית מתרחשת במספרי ריינולדס של <math>{{\operatorname{Re}}_{x}}\tilde{\ }{{10}^{5}}</math>. תת-שכבת הגבול הלמינרית מוגבלת לאזור <math>{{y}^{+}}=\frac{y\sqrt{\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho }}}{\nu }<5</math>. בתוך תת-שכבת הגבול הלמינרית, הצמיגות הינו האיבר המשמעותי ביותר המכתיב את הזרימה ולכן משוואת נאוויה סטוקס המתקבלת באזור זה הינו:
<math>v\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}=v\frac{\partial \left( \frac{u}{{{u}_{\tau }}} \right)}{\partial \left( \frac{y{{u}_{\tau }}}{v} \right)}=\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho }</math>
אזור המעבר מוגדר לפי: <math>5<{{y}^{+}}<30</math>
שכבת הגבול הטורבולנטית מוגדרת כאשר: <math>{{y}^{+}}\ge 30</math>
=== קירוב חזקות ===
עבור לוח שטוח שמבחוץ זורם זרם בזווית אפס מעלות ביחס ללוח, מתקבל הקשר:
<math>\frac{d{{\delta }_{2}}}{dx}=\frac{{{\tau }_{0}}}{\rho {{U}^{2}}}+\frac{1}{{{U}^{2}}}\frac{d}{dx}\int_{0}^{\delta }{\left( \overline{u{{'}^{2}}}-\overline{v{{'}^{2}}} \right)dy}</math>
כאשר <math>{{\tau }_{0}}</math> זה מאמץ הגזירה, <math>{{\delta }_{2}}</math> זה עובי תנע שהלך לשכבת הגבול, ו<math>U</math> זה המהירות רחוק מהלוח.
עבור לוח חלק, בלאסיוס פיתוח נוסחא אמפירית למאמץ הגזירה: <math>{{\tau }_{0}}=0.0225\rho {{U}^{2}}{{\left( \frac{\mu }{\rho U\delta } \right)}^{{\scriptstyle{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;}}}</math>
כמו כן, חוק פילוג החזקות של פרנדטל אומר: <math>\frac{u}{U}={{\left( \frac{y}{\delta } \right)}^{n}}</math>
ולכן נקבל את הקשרים הבאים לעובי ההזזה, תנע, ואנרגיה בהתאמה:
<math>\frac{{{\delta }_{1}}}{\delta }=\frac{n}{n+1};\quad \frac{{{\delta }_{2}}}{\delta }=\frac{n}{(n+1)(2n+1)};\quad \frac{{{\delta }_{3}}}{\delta }=\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}</math>
כאשר הערך של <math>n</math> תלוי במספר ריינולדס.<ref name=":0" />
== צינורות ==
עבור ניתוח של זרימה בצנרת מקובל להשתמש ב[[דיאגרמת מודי]] המאפשר מציאת מקדם החיכוך של זרימה בצינור כתלות במספר ריינולדס ובחספוס של הצינור. הדיאגרמה מראה מספר תחומים בזרימה בצינור והם:
#זרימה למינרית, בה מתקיים f = 64 / Re כאשר f הוא מקדם החיכוך ו-Re הוא מספר ריינולדס
#אזור קריטי בו הזרימה אינה מוגדרת
#אזור מעבר בו מקדם החיכוך מוגדר על ידי החיספוס היחסי ומספר ריינולדס
#אזור הזרימה הטורבולנטית המלאה בו מוראה מקדם החיכוך כקו אופקי לפי החיספוס היחסי של דופן הצינור
== הערות שוליים ==
{{reflist}}
[[קטגוריה:מכניקת הזורמים]]
| |||