החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

היות ומספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט ''סכום'' מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.
 
אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי <math>\ operatorname{sign}(f)=+1</math> אם f תמורה זוגית ו-<math>\ operatorname{sign}(f)=-1</math> אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה<math>\ \operatorname{sign}:S_n\rightarrow\{+1,-1\}\equiv\mathbb{Z}_2/2\mathbb{Z}:</math> היא [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא [[חבורת התמורות הזוגיות]] ומקובל לסמן אותו באות <math>\ A_n</math>. זוהי [[תת חבורה נורמלית]] של <math>\ S_n</math> ויש בה בדיוק <math>\ n!/2</math> איברים.
 
== תכונות של החבורות הסימטריות ==