גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בעיקר קישורים פנימיים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 28:
'''מרחב אפיני''' הוא מרחב לינארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על-ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
אם מסירים ממרחב פרוייקטיבי את כל הנקודות בתת-מרחב מקסימלי (כזה
כמו במקרה הפרוייקטיבי, מרחב לינארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
== גאומטריה שאריתית ==
נניח ש-F הוא דגל בגאומטריה, וחסרים בו אובייקטים מקבוצת הטיפוסים J (כלומר, יש ב-F אובייקט מכל טיפוס שאינו ב-J). '''הגאומטריה השאריתית''' של F כוללת את האובייקטים שהוספתם ל-F יוצרת דגל. לדוגמא, בגאומטריה שיש בה נקודות, ישרים, מישורים ומרחבים, אם F כולל ישר t ומרחב w (המכיל את t), אז הגאומטריה השאריתית שלו כוללת את כל הנקודות המוכלות ב-t והמישורים המכילים את t ומוכלים ב-w. לדוגמא, בגאומטריה פרוייקטיבית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא פרוייקטיבית d-1-ממדית, וכזו היא גם הגאומטריה השאריתית של כל תת-מרחב מממד d-1. לעומת זאת, בגאומטריה אפינית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא (שוב) פרוייקטיבית d-1-ממדית, והגאומטריה השאריתית של תת-מרחב מממד d-1 היא אפינית מממד זה.
חשיבות מיוחדת יש לגאומטריה השאריתית של דגל שחסרים בו רק שני טיפוסים, וזאת משום שאם יש בגאומטריה אובייקטים משלושה טיפוסים או יותר, אפשר לתאר אותה, ולו באופן חלקי, באמצעות המבנה ההדדי של האובייקטים מכל שני טיפוסים בנפרד. נאמר שלטיפוסים i,j יש גאומטריה מסויימת X (בת שני טיפוסים), אם *כל* גאומטריה שאריתית של דגל שחסרים בו בדיוק שני הטיפוסים האלה עונה לקריטריונים המגדירים את X (יתכן כמובן שהגאומטריה השאריתית של חלק מהדגלים מקיימת אקסיומות מסויימות, ואילו הגאומטריה השאריתית של דגלים עם אותם טיפוסים אינה מקיימת אותן). כאן יש שלוש דוגמאות חשובות: המישור הפרוייקטיבי, המישור האפיני, ו"הגאומטריה המלאה" שבה כל אובייקט מטיפוס i חל בכל אובייקט מטיפוס j. למשל, בדוגמא שנתנו קודם לכן הגאומטריה השאריתית של F היתה מלאה, משום שכל מישור המכיל את הישר t מכיל גם כל נקודה השייכת ל-t.
=== הדיאגרמה של גאומטריה ===
כעת בונים לגאומטריה מרובת טיפוסים את ה'''דיאגרמה''' שלה, שהיא גרף שקודקודיו הם הטיפוסים השונים. בדיאגרמה, *אין* מחברים שני טיפוסים i,j בקו, רק כאשר יש להם הגאומטריה המלאה. '''גאומטריה קווית''' היא גאומטריה שהדיאגרמה המתאימה לה היא מסלול (כלומר, יש לה טיפוסים 0,1,...,d, ולכל שני טיפוסים שאינם סמוכים יש הדיאגרמה המלאה). כל גאומטריה קבוצתית היא קווית; וגאומטריה קווית שבה לכל שני אובייקטים יש נקודה באחד ולא בשני (ואם האובייקטים אינם חלים זה בזה, גם נקודה בשני ולא בראשון), היא קבוצתית.
למשל, גאומטריה פרוייקטיבית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרוייקטיבי. גאומטריה אפינית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרוייקטיבי, פרט לטיפוסים 0,1 שלהם יש הגאומטריה של המישור האפיני. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה פרוייקטיבית d-ממדית, אז היא כזו. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות ארבע נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה אפינית d-ממדית, אז היא כזו. (גאומטריה היא '''קשירה''' אם כל אובייקט מחובר לכל אובייקט אחר בשרשרת של אובייקטים שבה כל שני אברים סמוכים חלים זה בזה; ו'''קשירה-שאריתית''' אם כל גאומטריה שאריתית של דגל החסר לפחות שני טיפוסים, היא קשירה).
== מקורות ==
| |||