הבדלים בין גרסאות בדף "משוואת קושי-אוילר"

אין תקציר עריכה
(יצירת דף עם התוכן "משוואת קושי-אוילר (לעתים משוואת אוילר) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, אשר לה דרך פתרון י...")
 
משוואות אוילר ההומוגנית נתונה בצורה הבאה:
<math>\sum _{ i=0 }^{ n }{ { { a }_{ i }{ x }^{ i } }\cdot { y }^{ (i) }(x) } ={ a }_{ n }{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=0</math>,
כאשר המקדמים הם מספרים ממשיים, ומהקדםוהמקדם של הנגזרת מהסדר הגבוהה ביותר איננושונה מ[[0 (מספר)|אפס]].
 
זוהי משוואה לינארית הומוגנית, ולכן יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].
 
משוואות אוילר הלא הומוגנית היא מהצורה:
3) <math>{ x }^{ 2 }{ y }''+xy'+y=0</math>
 
הקורא החרוץ יכול להיווכח בכךמכאן שהפתרונות הבלתי תלויים למשוואה הם <math>{ y }_{ 1 }(x)=sin(ln(x)), { y }_{ 2 }(x)=cos(ln(x))</math>.
 
בהמשך נראה את השיטה לפתרון המשוואה.
<math>\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } +({ a }_{ 1 }-1)\frac { dy }{ dt } +{ a }_{ 0 }y=0</math>
 
וזוזו משוואה לינארית עם מקדמים קבועים, כמו שרצינו.
 
גם המעבר בכיוון הנגדי אפשרי, על ידי ההצבה ההפוכה.
 
==ראו גם==
*[[משוואה דיפרנציאלית לינארית]]
 
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]