גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 16:
=== מרחבים פרוייקטיביים ===
מושגים אלו ניתנים להכללה ל[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] גבוה. '''[[מרחב פרוייקטיבי]]''' מוגדר כמרחב לינארי המקיים את '''אקסיומת ובלן-יאנג''': אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרוייקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרוייקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרוייקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על-ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על-ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. מרחב לינארי הוא מרחב פרוייקטיבי [[אם ורק אם]] כל מישור שלו הוא מישור פרוייקטיבי.
בדומה להגדרות ב[[אלגברה לינארית]], המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר '''בסיס''' של מרחב פרוייקטיבי P כקבוצה S שהיא '''פורשׂת''' (כלומר S יוצרת את P) ו'''בלתי תלויה''' (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרוייקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את [[הלמה של צורן]]). הבסיסים של מרחב פרוייקטיבי P מקיימים את [[למת ההחלפה של שטייניץ]], וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, ה[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים <math>\operatorname{dim}(\langle U,U'\rangle) = \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(U')-\operatorname{dim}(U\cap U')</math>.
שורה 36:
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב לינארי לקבוצת הנקודות של מרחב לינארי נקראת '''קולינאציה''' אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים. מרחבים פרוייקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם '''איזומורפיים'''. קולינאציה בין מרחבים פרוייקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על-ידי הסרת על-מישור, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרוייקטיביים שהם מגדירים.
קולינאציה a ממרחב פרוייקטיבי לעצמו היא '''מרכזית''' אם יש לה '''נקודת מרכז''' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של '''ציר''' (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות <math>\ G(p,H)</math> עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. קולינאציה ב-<math>\ G(p,H)</math> נקבעת על-ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-<math>\ H \cup \{p\}</math>. (ראה [[מישור פרוייקטיבי]] לדיון בקולינאציות של המישור).
== גאומטריה שאריתית ==
| |||