בעיית בזל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
עריכה |
||
שורה 1:
'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[אנליזה מתמטית]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח נסיונות מתמשכים של ה[[מתמטיקאי]]ם המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעיה באמצעות [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית זטא]] ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה ל[[ברנרד רימן]], אשר בעבודתו משנת [[1859]] השתמש בפונקציה בהקשר ל[[משפט המספרים הראשוניים]]. הבעיה נקראת על שם [[בזל]], עירו של אוילר כמו גם של בני [[משפחת ברנולי]], שלא הצליחו לפתור את הבעיה.
בעיית בזל היא מציאת סכום [[טור אינסופי|הטור האינסופי]] של הערכים ה[[מספר הופכי|הופכי]]ים של [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר, הסכום <math>\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots</math>. סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934. בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור
== פתרונו של אוילר ==
שורה 27:
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.
</math>
ועל ידי הכפלת שני האגפים ב
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית ==
| |||