פרדוקס ד'אלמבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה תגית: חזרות |
||
שורה 5:
ב[[מכניקת הזורמים]], פרדוקס ד'אלמבר (או הפרדוקס ההידרודינמי) הוא סתירה אליה הגיע ב-1752 המתמטיקאי הצרפתי [[ז'אן לה-רון ד'אלמבר]]{{הערה|Jean Le Rond d'Alembert (1752)}}. ד'אלמבר הוכיח שבזרימה פוטנציאלית בלתי דחיסה ובלתי צמיגה, כוח הגרר על גוף שנע במהירות קבועה יחסית לזורם שווה לאפס{{הערה|Gimberg, Pauls & Frisch (2008)}}. אפס גרר בא בסתירה ישירה לתצפיות של גרר משמעותי על גופים שנעים יחסית לזורמים כגון אוויר ומים; במיוחד במהירויות גבוהות המתאימים ל[[מספר ריינולדס|מספרי ריינולדס]] גבוהים.
{{ש}}
ד'אלמבר, כשעבד ב-1749 על תרגיל בכוח גרר, אמר
פרדוקס פיזי מציין פגם בתאוריה. ובכך, מכניקת זורמים איבדה את האמון של מהנדסים מההתחלה, דבר אשר, על פי חתן פרס הנובל בכימיה [[סיריל נורמן הינשלווד]], הביא לפיצול מצער - בין ה[[הידראוליקה]], התבוננות בתופעות שלא ניתן להסביר, ומכניקת זורמים תיאורטית המסבירות תופעות שלא ניתן להבחין בהן.<ref>{{Citation | author= M.J. Lighthill | authorlink=James Lighthill | title=Physics of gas flow at very high speeds | journal=Nature | volume=178 | page=343 | year=1956 |doi=10.1038/178343a0 |bibcode = 1956Natur.178..343. | issue=4529}} Report on a conference.</ref>{{ש}}
על פי הקונצנזוס המדעי, הפרדוקס נובע מההשפעות הזניחות של הצמיגות. בשילוב עם ניסויים מדעיים, היו התקדמויות עצומות בתאוריה של חיכוך של זורמים צמיגים במהלך המאה ה-19. ובעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. אפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד ,שכבות הגבול הדקות יישארו כתוצאה מכוחות צמיגות. כוחות הצמיגות האלו גורמות לגרר על גופים.<ref name=LandauLifshitz_15>Landau & Lifshitz (1987), p. 15.</ref><ref name=Batchelor_264>[[George Batchelor|Batchelor]] (2000), pp. 264–265, 303, 337.</ref><ref name=Schlichting_XIX>
{{citation
| title=Boundary-layer theory
| first1=Hermann
| last1=Schlichting
| author1-link=Hermann Schlichting
| first2=Klaus
| last2=Gersten
| publisher=Springer
| year=2000
| isbn=978-3-540-66270-9
| edition=8th revised and enlarged
}}, pp. XIX–XXIII.</ref><ref name=Veldman2001>
{{citation
| title=Matched asymptotic expansions and the numerical treatment of viscous–inviscid interaction
| first=A.E.P.
| last=Veldman
| journal=Journal of Engineering Mathematics
| volume=39
| year=2001
| pages=189–206
| doi=10.1023/A:1004846400131
|bibcode = 2001JEnMa..39..189V }}
</ref>
{{ש}}
מנקודת מבט מעשית, הפרדוקס נפתר בנוסחה שהוצעה על ידי פרנטל.<ref name=LandauLifshitz_15/><ref name=Batchelor_264/><ref name=Schlichting_XIX/><ref name=Veldman2001/><ref name="Stewartson">Stewartson (1981).</ref><ref>{{citation | first1=R.P. | last=Feynman |authorlink1=R. P. Feynman | first2=R.B. | last2=Leighton | authorlink2=R. B. Leighton | first3=M. | last3=Sands | year=1963 | title=[[The Feynman Lectures on Physics]] | isbn=978-0-201-02116-5 | publisher=Addison-Wesley | location=Reading, Mass. }}, Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10.</ref>: מבחינה פורמלית, מתמטית, חסרה הוכחה, וקשה לספק אחת, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה, כולל [[משוואות נאוויה-סטוקס]] (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה).
== חיכוך צמיגי: סיינט-ונאנט, נאוויה, וסטוקס ==
הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סיינט-ונאנט, שמידל חיכוך נוזל צמיג. סיינט-ונאנט קובע בשנת 1847:<ref>{{citation
{{ציטוט|תוכן="אבל מגלים תוצאה אחרת אם, במקום נוזל אידיאלי - מושא החישובים של המתמטיקאים של המאה שעברה - משתמשים בנוזל אמיתי, המורכב ממספר סופי של מולקולות, ואשר במצב של תנועה מפעיל כוחות לחץ לא שווים, או כוחות אשר יש בהם רכיבים משיקים לאלמנטי המשטח שדרכו הם פועלים; רכיבים שאליהם אנו מתייחסים כחיכוך של הנוזל, שם שכבר ניתן להם מימי דקארט וניוטון".}}
זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, סטוקס חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה חוק סטוקס.<ref>{{citation | author=Stokes, G.G. | title=On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums | journal=Trans. Cambridge Phil. Soc. | volume=9 | pages=8–106 | year=1851 |bibcode = 1851TCaPS...9....8S }}. Reprinted in {{citation | author=Stokes, G.G. | publisher=Cambridge Univ. Press | edition=2nd | volume=3 | work=Mathematical and Physical Papers }}</ref> זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה סטוקס עוסקות.<ref>(Batchelor, 2000, pp. 245–246).</ref>
{{ש}}
עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות האל-ממדיות, משוואות נאוויה סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגה עבור מספרי ריינולדס גבוהים. דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית – זאת אומר שיש את האפס גרר של פרדוקס ד'אלמבר. וכמובן שאין שום אימות שהזורם אכן מפעיל אפס גרר בזרימה זו.<ref name=Batchelor337>Batchelor (2000), pp. 337–343 & plates.</ref> לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה -19.
שורה 27 ⟵ 45:
[[קובץ:Cavity flow plate.svg|שמאל|ממוזער|250px|זרימה פוטנציאלית, פרידה, בלתי דחיסה מסביב למשטח בדו מימד{{הערה|Batchelor (2000), p. 499, eq. (6.13.12).}} עם לחץ קבוע בשני קווי זרם המופרדים על גבי הגוף]]
במחצית השנייה של המאה ה -19 , המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתיאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף
| last=Kirchhoff
| first=G.
| authorlink=Gustav Kirchhoff
| title=Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen
| journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik
| volume=70
| pages=289–298
| year=1869
}}</ref> וריילי<ref name=Rayleigh_1876>{{citation
| last=Rayleigh
| first=Lord
| authorlink=Lord Rayleigh
| title=On the resistance of fluids
| journal=Philosophical Magazine
| volume=5
| issue=2
| pages=430–441
| year=1876
}}. Reprinted in: ''Scientific Papers'' '''1''':287–296.
</ref> היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ<ref>{{citation
| last=Helmholtz
| first=H. L. F. von
| authorlink=Hermann von Helmholtz
| title=Über discontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen
| journal=Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
| year=1868
| volume=23
| pages=215–228
}}. Reprinted in: ''Philosophical Magazine'' (1868) '''36''':337–346.</ref> ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, ולחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות ידי מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק.<ref>Batchelor (2000), pp. 338–339</ref><ref name=Wu_1972>{{citation
| last1=Wu
| first1=T. Y.
| year = 1972
| title = Cavity and wake flows
| journal = Annual Review of Fluid Mechanics
| volume = 4
| pages = 243–284
| doi = 10.1146/annurev.fl.04.010172.001331
|bibcode = 1972AnRFM...4..243W }}</ref> על מנת לקבל שאין אפס גרור על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. תנאי זה אכן מתקיים בזרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה את כוח הגרר להיות פרופורציונאלי לריבוע של המהירות.<ref name=Lamb_679>{{citation
| first=H.
| last=Lamb
| authorlink=Horace Lamb
| year=1994
| title=Hydrodynamics
| publisher=Cambridge University Press
| edition=6th
| isbn=978-0-521-45868-9
| page=679
}}</ref> בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-סיויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות.<ref>{{citation
| last=Levi-Civita
| first=T.
| authorlink=Tullio Levi-Civita
| title=Scie e leggi di resistenza
| year=1907
| journal=Rendeconti del Circolo Matematico di Palermo
| volume=23
| pages=1–37
}}</ref>
{{ש}}
היה כבר ידוע שזרימות כאלו אינן יציבות, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ.
{{ש}}
עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו : קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, המהירות בשובל שווה לזה של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש אנרגיה קינטית אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי.
{{citation
| title=On the doctrine of discontinuity of fluid motion, in connection with the resistance against a solid moving through a fluid
| author=Lord Kelvin
| journal=Nature
| volume=50
| issue=1300
| pages=524–5, 549, 573–5, 597–8
| year=1894
| doi=10.1038/050524e0
|bibcode = 1894Natur..50..524K }} Reprinted in: ''Mathematical and Physical Papers'' '''4''': 215–230.</ref> יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא <math>C_D=0.88</math>, ואילו בניסויים <math>C_D=2.0 </math>. זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח).<ref name=Batchelor_500>Batchelor (2000), p. 500.</ref>
{{ש}}
לכן, תאוריה זו אינה מספקת בכדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה
שורה 38 ⟵ 123:
== שכבות גבול דקות : פרנטל ==
[[קובץ:Flow pressure with friction.svg|שמאל|ממוזער|250px|חלוקת הלחץ בזרימה סביב צילינדר מעגלי. הקווים הכחולים המקוקוים מראים את חלוקת הלחץ לפי האוריית הזרימה הפוטנציאלית, הגורמת לפרדוקס ד'אלמבר. הקווים הכחולים הרציפים מגיעים בניסויים שנעשו במספרי ריינולדס גבוהים.]]
הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי
{{ש}}
ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בזה שניתן לראות בזרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה מפרידה ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם , וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.
{{ש}}
פרנטל שיער שהתופעות של צמיגות חשובות בשכבות דקיקות - הנקראות שכבות גבול - סמוכות לגבולות מוצקים, ושלצמיגות אין כל חשיבות מחוץ לגבולות אלו. עובי שכבת הגבול הופך להיות קטן יותר כאשר הצמיגות פוחתת. הבעיה המלאה של זרימה צמיגה , שתוארה על ידי משוואות נאוויה סטוקס הלא ליניאריות , היא בכלל לא פתירה מבחינה מתמטית. עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויו על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול , ואילו הזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים . במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס. חשוב לציין לאווירונאוטיקה, התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, בנוסף לגרר מהמשטח חיכוך, יש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.
שורה 48 ⟵ 133:
כדי לוודא ,כפי שפרנטל הציע , שגורם שנהיה זניח ( צמיגות זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות קשה מאוד.
{{ש}}
המתמטיקאי גארט בירקהוף בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה,
{{ש}}
{{ציטוט|תוכן="יתר על כן, אני חושב שלייחס את כולם להזנחה של צמיגות זו פשטנות בלתי מוצדקת. שורש הבעיה טמון עמוק יותר בדיוק בחוסר ההקפדה הדדוקטיבית שחשיבותה ממוזערת בתדירות גבוהה על ידי פיסיקאים ומהנדסים ".<ref>Birkhoff (1950) p. 21.</ref>}}
{{ש}}
בפרט, לפרדוקס ד’אלמבר, הוא מעלה עוד דרך אפשרית ליצירתו של גרר: חוסר יציבות של הפתרונות האפשריים של הזרימה הפוטנציאלית למשוואות אוילר . בירקהוף קובע:
{{ש}}
{{ציטוט|תוכן="בכל מקרה, בסעיפים הקודמים מובהר שהתאוריה של זרימה לא צמיגה אינה שלמה. ואכן, ההיגיון המוביל למושג של "זרימה תמידית" הוא לא חד משמעי , אין שום הצדקה ריגורוזית לביטול הזמן כמשתנה בלתי תלוי . לכן למרות זרימות דיריכלה (פתרונות פוטנציאלים) וזרימות מתמידות אחרות הן מבחינה מתמטית אפשריים, אין סיבה להניח שכל זרימה קבועה היא יציבה".}}
{{ש}}
ב1951 המתמטיקאי ג'יימס ג'יי סטוקר מבקר בחריפות את הפרק הראשון בספרו של בירקהוף:
{{ציטוט|תוכן="[אני] מתקשה להבין בשביל איזה חלק מהקוראים נכתב הפרק הראשון. לקוראים שמכירים הידרודינמיקה הרוב המוחלט של המקרים שהובאו כפרדוקסים שייכים לקטגוריה של טעויות שמזמן תוקנו, או לקטגוריה של פערים בין התאוריה והניסויים אשר סיבותיהם כבר מובנים היטב. מצד השני ,מאוד צפוי שההדיוטים יקבלו מקריאת פרק זה רושם מוטעה על כמה מההישגים החשובים והשימושיים בהידרודינמיקה".<ref>{{Citation | author=James J. Stoker | url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183516308 | title=Review: Garrett Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact, and similitude | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=57 | issue=6 | year=1951 | pages=497–499 | doi=10.1090/S0002-9904-1951-09552-X | postscript=. }}</ref>}}
{{ש}}
במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו.
{{ש}}
החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד’אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן. המאמר סריקה הארוך שלו מתחיל:
{{ש}}
{{ציטוט|תוכן="מכיוון שתיאורית הזרימה הלא צמיגה הקלסית מובילה למסקנה האבסורדית שההתנגדות שחווה גוף שנע דרך נוזל עם מהירות אחידה היא אפס, מאמצים רבים שנעשו במהלך מאה השנים האחרונות להציע תאוריות חלופיות ולהסביר כיצד כוח חיכוך זניח בנוזל, יכול בכל זאת להיות השפעה משמעותית על תכונות הזרימה. השיטות משתמשות בשילוב של תצפיות ניסיוניות, חישוב לעתים קרובות בקנה מידה גדול מאוד, וניתוח של המבנה האסימפטוטי של הפתרון כשהחיכוך שואף לאפס. ההתקפה הזאת, שבאה משלשה מישורים אלו, זכתה להצלחה ניכרת , במיוחד בעשר השנים האחרונות , כך שעכשיו אפשר להחשיב במידה רבה את הפרדוקס כפתור".}}
{{ש}}
לפרדוקסים רבים בפיסיקה, הרזולוציה שלהם לעתים קרובות נמצאת בהתעלות על התאוריה הזמינה.
== הוכחה של אפס גרר בזרימה פוטנציאלית תמידית ==
שורה 71 ⟵ 156:
=== זרימה פוטנציאלית ===
[[קובץ:Potential cylinder.svg|שמאל|ממוזער|250px|קווי זרם של זרימה פוטנציאלית מסביב לצילינדר עגול בזרימה אחידה.]]
שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית.<ref>This article חלק 6.4 של Batchelor (2000).</ref> נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, אשר לזרימה בלתי דחיסה נראים כדלהלן:<math>\begin{align} & \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{u} = 0 && \text{(Conservation of mass)} \\ & \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{u} + \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = - \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p && \text{(Conservation of momentum)} \end{align}</math>
כאשר <math>u</math> הוא מהירות הזורם, <math>p</math> הלחץ, <math>\rho</math> הצפיפות, ו<math>\nabla</math> הוא אופרטור הגרדיאנט. ההנחה שהזרימה היא רוטציונית גוררת שהמהירות מקיימת <math>\nabla\times u=0</math> ולכן אנחנו מקבלים:
| |||