גאומטריית חילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 40:
אם p נקודת שבת של קולינאציה a, אז a מהווה קולינאציה של הגאומטריה השאריתית ב-p. קולינאציה a ממרחב פרוייקטיבי לעצמו היא '''מרכזית''' אם יש לה '''נקודת מרכז''' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a; במקרה זה הקולינאציה של הגאומטריה השאריתית היא טריוויאלית). תכונה זו שקולה לקיומו של '''ציר''' (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות <math>\ G(p,H)</math> עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. קולינאציה ב-<math>\ G(p,H)</math> נקבעת על-ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-<math>\ H \cup \{p\}</math>; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל-<math>\ H \cup \{p\}</math> של כל ישר דרך p.
(ראה [[מישור פרוייקטיבי]] לדיון בקולינאציות של המישור הפרוייקטיבי הקלאסי).
== גאומטריה פולרית ==
גאומטריה של נקודות וישרים היא '''מרחב לינארי חלקי''' אם דרך כל שתי נקודות עובר לכל היותר ישר אחד, ועל כל ישר יש לפחות שתי נקודות. שתי נקודות הן '''מחוברות''' אם עובר דרכן ישר משותף (במרחב לינארי כל שתי נקודות מחוברות).
גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא '''מרחב פולרי''' אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו '''מרחב פולרי מוכלל'''). מרחב פולרי הוא '''מנוון''' אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות. קבוצת נקודות במרחב פולרי היא '''תת-מרחב''' אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה. כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה). ה'''דרגה''' של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים. כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב לינארי חלקי<!--משפט 2.9 ב-Uberberg-->. מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא '''מלבן מוכלל''' (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים לינארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים).
תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא '''על-מישור פרוייקטיבי''', אם הוא חותך כל ישר של S. נסמן ב-<math>\ p^{\perp}</math> את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p. לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך <math>\ U_p = U \cap p^{\perp}</math> הוא על-מישור פרוייקטיבי של U. אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב <math>\ \langle U_p,p\rangle</math> הוא מקסימלי<!--, והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-<math>\ U_p</math>-->. כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרוייקטיבי ('''משפט Buekenhout''', המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult).
== גאומטריה שאריתית ==
| |||