פרדוקס ד'אלמבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים |
מ קישורים פנימיים |
||
שורה 28:
| doi=10.1023/A:1004846400131
|bibcode = 2001JEnMa..39..189V }}
</ref>
</ref> מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בנוסחה שהוצעה על ידי פרנטל.<ref name="LandauLifshitz_15" /><ref name="Batchelor_264" /><ref name="Schlichting_XIX" /><ref name="Veldman2001" /><ref name="Stewartson">Stewartson (1981).</ref><ref>{{citation | first1=R.P. | last=Feynman |authorlink1=R. P. Feynman | first2=R.B. | last2=Leighton | authorlink2=R. B. Leighton | first3=M. | last3=Sands | year=1963 | title=[[The Feynman Lectures on Physics]] | isbn=978-0-201-02116-5 | publisher=Addison-Wesley | location=Reading, Mass. }}, Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10.</ref>: אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה. הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה, כולל [[משוואות נאוויה-סטוקס]] (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה).▼
▲
== חיכוך צמיגי: סיינט-ונאנט, נאוויה, וסטוקס ==
שורה 96 ⟵ 98:
| pages=1–37
}}</ref> היה כבר ידוע שזרימות כאלו אינן יציבות, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ.<ref name=Wu_1972/> אבל מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר.
עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, המהירות בשובל שווה לזה של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש [[אנרגיה קינטית]] אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי.<ref name="Lamb_679" /><ref>{{citation
| title=On the doctrine of discontinuity of fluid motion, in connection with the resistance against a solid moving through a fluid
| author=Lord Kelvin
שורה 107 ⟵ 108:
| year=1894
| doi=10.1038/050524e0
|bibcode = 1894Natur..50..524K }} Reprinted in: ''Mathematical and Physical Papers'' '''4''': 215–230.</ref> יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא <math>C_D=0.88</math>, ואילו בניסויים <math>C_D=2.0 </math>. זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח).<ref name="Batchelor_500">Batchelor (2000), p. 500.</ref> לכן, תאוריה זו אינה מספקת בכדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה.
== שכבות גבול דקות: פרנטל ==
[[קובץ:Flow pressure with friction.svg|שמאל|ממוזער|250px|חלוקת הלחץ בזרימה סביב צילינדר מעגלי. הקווים הכחולים המקוקוים מראים את חלוקת הלחץ לפי האוריית הזרימה הפוטנציאלית, הגורמת לפרדוקס ד'אלמבר. הקווים הכחולים הרציפים מגיעים בניסויים שנעשו במספרי ריינולדס גבוהים.]]
הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי.<ref name=Prandtl1904>Prandtl (1904).</ref> פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לוריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה הדקה שבקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של [[ערבוליות]] ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול
ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בזה שניתן לראות בזרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה מפרידה ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם , וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.<ref name="Batchelor337" />
עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, ואילו הזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים. במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס. חשוב לציין ל[[אווירונאוטיקה]], התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, בנוסף לגרר מהמשטח חיכוך, יש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.<ref name="Schlichting_XIX" /><ref name="Batchelor_302">Batchelor (2000) pp. 302–314 & 331–337.</ref>
== שאלות פתוחות ==
כדי לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם שנהיה זניח (צמיגות זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות קשה מאוד. המתמטיקאי [[גארט בירקהוף]] בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה,<ref>Garrett Birkhoff, ''Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude'', Princeton University Press, 1950</ref> כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד’אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם:
| |||