הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש זווית"

נוספו 114 בתים ,  לפני 7 שנים
אין תקציר עריכה
* [[אטיין פסקל]], אביו של [[בלז פסקל]], הראה שאפשר לשלש את הזווית באמצעות [[קרדיואידה]]; שיטה זו דומה לשיטתו של ניקומדס.
 
==אי אפשר לשלש במחוגה וסרגל==
==הוכחת אי-אפשרות==
 
מאז תחילת המאה ה-19 ידוע שאי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית של <math>60^\circ</math> כי זו הזווית הפנימית ב[[משולש שווה-צלעות]]. לכן כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של <math>20^\circ</math>. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך <math>\cos(20^\circ)</math> בתור ניצב ב[[משולש ישר-זווית]] עם זווית של <math>20^\circ</math> ויתר באורך 1. מ[[זהויות טריגונומטריות]] פשוטות נובע ש:-<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>.
:<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>
 
מכאן ש-<math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>8x^3-6x-1</math>. זהו [[פולינום אי-פריק]] מעל ה[[שדה המספרים הרציונליים]] (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן <math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[מספר אלגברי]] מדרגה 3.