הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש זווית"

הוסרו 159 בתים ,  לפני 7 שנים
מאז תחילת המאה ה-19 ידוע שאי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית של <math>60^\circ</math> כי זו הזווית הפנימית ב[[משולש שווה-צלעות]]. כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של <math>20^\circ</math>. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך <math>\cos(20^\circ)</math> בתור ניצב ב[[משולש ישר-זווית]] עם זווית של <math>20^\circ</math> ויתר באורך 1. מ[[זהויות טריגונומטריות]] פשוטות נובע ש-<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>.
 
מכאן ש-<math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>8x^3-6x-1</math>. זהו [[פולינום אי-פריק]] מעל ה[[שדה המספרים הרציונליים]] (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן <math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[מספר אלגברי]] מדרגה 3, והשדה <math>\ \mathbb{Q}[\cos(20^\circ)]</math> הוא בעל ממד 3 מעל הרציונליים.
 
מספר מרוכב ניתן לבניה אם ורק אם הוא שייך לשדה בקצה שרשרת של הרחבות ריבועיות של הרציונליים (כי בניות בסרגל ומחוגה מתקבלות מחיתוכים בין ישרים ומעגלים שמניבים הרחבות ריבועיות). לפיהממד ההנחהשל <math>\cos(20^\circ)</math>שדות ניתןכאלה לבנייההוא ולכןכמובן קיימתחזקת הרחבה2, אבל 3 אינו חזקה של 2, ומכאן שאי אפשר לבנות זווית של 20 <math>F/\mathbb{Q}</math>מעלות.
כך ש-<math>[F:\mathbb{Q}] = 2^n</math> וכן <math>\cos(20^\circ) \in F</math>. אבל אז נקבל:
:<math>2^n = [F:\mathbb{Q}(\cos(20^\circ))]\cdot [\mathbb{Q}(\cos(20^\circ)):\mathbb{Q}] = [F:\mathbb{Q}(\cos(20^\circ))]\cdot 3</math>
 
קיבלנו ש-3 מחלק חזקה של 2 וזו סתירה.
 
==קישורים חיצוניים==