עוצמת הרצף – הבדלי גרסאות

כחלק מהניסיונות להוכחת השערת הרצף, קנטור הוכיח כי העוצמה של כל [[קבוצה סגורה]] של ממשיים שאינה בת-מנייה היא עוצמת הרצף. ההוכחה מראהמסתמכת על [[משפט קנטור-בנדיקסון]] הקובע כי כל קבוצה סגורה מורכבת מ[[קבוצה מושלמת]] (אולי ריקה) ומאוסף בן מנייה של נקודות. כיוון שהעוצמה של כל קבוצה מושלמת לא ריקה היא עוצמת הרצף, מתקבלת שקבוצה סגורה אינה יכולה להוות סתירה להשערת הרצף. את התוצאה הזו ניתן להרחיב לכל [[קבוצת בורל]] - קבוצת בורל שאינה בת מניה תכיל תת-קבוצה מושלמת ולכן עוצמתה תהיה עוצמת הרצף. זו תוצאה של משפט עמוק יותר של [[דונלד מרטין]] - כל המשחקים על קבוצות בורל [[כריעות (תורת הקבוצות)|מוכרעים]]. [[קטגוריה:תורת הקבוצות]]