טופולוגיה דיסקרטית – הבדלי גרסאות

שדרוג
אין תקציר עריכה
 
(שדרוג)
ב[[טופולוגיה]], '''הטופולוגיה הדיסקרטית''' על קבוצה X, היא הטופולוגיה[[טופולוגיה]] שלמנוונת המרחבבמיוחד, שבוהמוגדרת כלכך [[יחידון]]שכל הואהקבוצות יהיו [[קבוצה פתוחה|פתוחות]]. במקרהבמרחב הזהכזה קלכל לראותנקודה שכלמהווה תת[[קשירות|מרכיב קבוצהקשירות]]. שלאת Xהטופולוגיה היאהדיסקרטית קבוצהאפשר פתוחהלהגדיר וסגורהבאמצעות ו[[קשירות (טופולוגיה)|רכיבי הקשירותמטריקה]] שלמתאימה, Xהקרויה '''המטריקה הדיסקרטית''': תחת מטריקה זו, המרחק מנקודה לכל נקודה אחרת הוא הםתמיד היחידונים1. <br>
 
טופולוגיה זו היא אחת משתי המבנים הטופולוגיים הטריויאליים שתמיד ניתן להגדיר על קבוצה כללית X (יחד עם המרחב שבו רק X והקבוצה הריקה הן הקבוצות הפתוחות) וזו הטופולוגיה החזקה ביותר שאפשרית, כלומר כל טופולוגיה אחרת מוכלת בה. <br>
עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו. למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל [[אקסיומות ההפרדה]]; היא [[מרחב קומפקטי|קומפקטית]] בדיוק כאשר המרחב [[קבוצה סופית|סופי]]. בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמא, את [[טופולוגית זריצקי]] אפשר להגדיר על [[יריעה אלגברית]] על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומיאלית תהיה [[פונקציה רציפה|רציפה]], וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס. הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיאליות.
המרחב הדיסקרטי הוא [[מטריזבילי]] (לדוגמא ע"י ה[[מרחב מטרי|מטריקה]] <math>\ d(x,y)=1</math> לכל <math>x \ne y</math> שמכונה '''המטריקה הדיסקרטית''').
 
הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמא קיצונית אחת למרחב טופולוגי. בעבר השני מצויה '''הטופולוגיה הטריוויאלית''', שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות. מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל.
 
[[קטגוריה: טופולוגיה]]