מטריצות פאולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q336233 |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''מטריצות פאולי''' הן שלוש [[מטריצה|מטריצות]] [[מספר מרוכב|מרוכבות]] המסייעות לייצג [[טרנספורמציית סיבוב|טרנספורמציות סיבוב]] במרחב מ[[ממד (פיזיקה)|ממד]] [[מספר זוגי|זוגי]] של פונקציות [[מספר מרוכב|מרוכבות]]. למטריצות אלו חשיבות רבה ב[[פיזיקה]] בכלל, וב[[מכניקת הקוונטים|תורת הקוונטים]] בפרט. בין היתר ניתן לייצג בעזרתן את [[אופרטור]] ה[[ספין]], אופרטור ה[[בורגיות]] ([[הליסיטי]]) ובעזרתם ניתן לכתוב את [[משוואת דיראק]] במרחב ה[[ספינור]] ה-4 ממדי. מטריצות אלו קרויות על שם ה[[פיזיקאי]] ה[[אוסטרי]] [[וולפגנג פאולי]].
המטריצות הן מסדר
:<math>
שורה 34:
* מטריצות פאולי הן מטריצות [[אופרטור הרמיטי|הרמיטיות]], [[אופרטור אוניטרי|אוניטריות]], בעלות [[עקבה (אלגברה)|עקבה]] [[אפס (מספר)|אפס]] ובעלות [[דטרמיננטה]] 1-, כלומר:
::<math> \sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i</math>
::<math>\
::<math>\ \det(\sigma_i)=-1</math>
שורה 41:
* למטריצות פאולי [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] 1+ ו 1- .
* כל אחת ממטריצות פאולי מקיימת את השוויון : <math> \ \sigma_i^2 =I
* כפל מטריצות:
שורה 51:
* יחסי [[קומוטטור|קומוטציה]] ואנטי-קומוטציה :
:: <math>\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}</math>
שורה 60:
* עבור [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] <math> \ \vec{a} , \vec{b} </math> (של מספרים) מתקיים:
::<math>(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad
* <math>\ \sigma_2 \sigma_k \sigma_2 = - \sigma_k^*</math>
שורה 69:
למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:
* עבור ספין 1/2, האופרטור המתאים לספין בכיוון הציר <math>\ \hat n </math> הוא <math> \ \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} \cdot \hat{n}</math>. בפרט מטריצות פאולי עצמן מתאימות לספין בכיוון הצירים x,y,z. האופרטור המתאר סיבוב של ספין 1/2 בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\ \hat n </math> הוא: <math>e^{-i \frac{\theta}{2}(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{\frac{\theta}{2}}
* מטריצות פאולי משמשות לבניית [[מטריצות גאמה של דיראק]], הנמצאות בניסוח היחסותי האינווריאנטי-לורנץ של [[משוואת דיראק]].
* ב[[פיזיקה גרעינית]] משתמשים במטריצות פאולי לתיאור טרנספורמציות של חלקיקים בעלי [[איזוספין]] 1/2 (לדוגמה [[נוקליאון|נוקליאונים]]). בתחום זה מטריצות פאולי מסומנות בדרך כלל ב-<math>\ \tau_i</math>.
| |||