הבדלים בין גרסאות בדף "משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין"

איחוד למת הסנדוויץ' לתוך הערך
(איחוד למת הסנדוויץ' לתוך הערך)
 
חשיבותו הרבה של המשפט היא בכך שהוא מראה שבין העוצמות השונות קיים [[יחס]] [[סדר חלקי|סדר]] (המשפט מראה כי היחס [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]]), שמוגדר על ידי קיומן של התאמות חד-חד ערכיות.
לעומת עוצמות סופיות (המספרים הטבעיים), שם [[יחס]] [[סדר חלקי|הסדר]] הוא גם ברור ומובן אינטואיטיבית, יחס הסדר בעוצמות אינסופיות לא תמיד ברור (לדוגמה: עוצמת [[מספר רציונלי|הרציונלים]] שווה לעוצמת [[מספר שלם|השלמים]], ששווה לעוצמת [[מספר טבעי|הטבעיים]], זאת למרות ההכלה ממש) ומשפט זה מוכיח שאכן קיים יחס סדר שכזה. המשפט מוכיח שהיחס <math>\le</math> הוא [[סדר חלקי]]. בעזרת [[אקסיומת הבחירה]] ניתן להוכיח שהיחס הוא גם [[סדר מלא]], כלומר לכל שתי עוצמות a, b מתקיים <math>a \le b</math> או <math>b \le a</math>.
 
המשפט מוכיח שהיחס <math>\le</math> הוא [[סדר חלקי]]. בעזרת [[אקסיומת הבחירה]] ניתן להוכיח שהיחס הוא גם [[סדר מלא]], כלומר לכל שתי עוצמות a, b מתקיים <math>a \le b</math> או <math>b \le a</math>.
 
המשפט מכונה גם "למת הסנדוויץ'". כינוי זה בא מניסוח שקול: "אם <math>|A|\le|B|\le|C|</math> וגם <math>|A|=|C|</math> אז <math>|A|=|B|=|C|</math>" בדומה ל[[משפט הסנדוויץ']].
== הוכחת המשפט ==
 
 
כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד ערכית ועל <math>\ h</math> מ-A ל-B: עבור איברי A ששייכים לסדרת קצה-A, נגדיר את <math>\ h(a)</math> כ-<math>\ f(a) </math> (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי A ששייכים לסדרת קצה-B, נגדיר את <math>\ h(a)</math> כ-<math>\ g^{-1}(a)</math> (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את <math>\ h</math> עבור איברי A ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה <math>\ h</math> היא אכן חד-חד ערכית ועל.
 
;הוכחה נוספת
נניח ש-<math>\ f</math> היא פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-B, וש-<math>\ g</math> היא פונקציה חד-חד ערכית מ-B ל-A. כמו כן נניח, [[ללא הגבלת הכלליות]] שהקבוצות A ו-B זרות. נראה שקיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שתי הקבוצות.
נשים לב שמכיוון ש--f,g פונקציות חד-חד ערכיות מתקיימים היחסים הבאים: <math>A \approx Range(f) \approx Range(gf) = g(Range(f)) \subseteq Range(g) \subseteq A</math> לו נוכל להשתמש בשיקולי "סנדוויץ'" של עוצמות נוכל להסיק שמתקיים כי <math>Range(g) \approx A</math>, ומכיוון שברור כי <math>B \approx Range(g)</math> נובע <math>B \approx Range(g) \approx A</math>. ואכן, מתברר ששיקולי סנדוויץ' נכונים בכל הנוגע לעוצמות, כפי שקובעת [[למת הסנדוויץ']].
 
==דוגמה לשימוש במשפט==
8,258

עריכות