המשוואה הפונקציונלית של קושי – הבדלי גרסאות

ב-[[1905]] הוכיח [[גיאורג המל]], תוך שימוש ב[[בסיס המל]], כי (בהנחת [[אקסיומת הבחירה]]) ללא הנחות נוספות על <math>\ f</math> מעבר למשוואה היסודית, קיימות אינסוף פונקציות אחרות שמקיימות את המשוואה. ה[[הבעיה החמישית של הילברט|בעיה החמישית]] ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]] היא הכללה של משוואה זו. למעשה, אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]], יש למשוואה <math>\ 2^{\aleph_0}aleph</math> פתרונות רציפים ו-<math>\ 2^{2^{\aleph_0}aleph}</math> פתרונות לא רציפים (ראו [[עוצמה (מתמטיקה)]] לפירוש של מושגים אלה).