משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

מקרה פרטי של משוואה לינארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: <math>\ y'+by=c</math>, כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): <math>\ y = ke^{-bt} + c/b</math>, כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה [[פונקציה מעריכית|מעריכית]] לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.▼

דוגמה לתופעה המתוארת כך היא בעיה הנקראת בעיית ה[[צנחן]]: צנחן בעל [[מסה]] m צונח (ללא קפיצה, כלומר ב[[מהירות]] התחלתית 0) מגובה רב מעל פני הקרקע. ה[[כוח (פיזיקה)|כוחות]] הפועלים עליו הם כוח ה[[כבידה]] (שהוא קבוע) וה[[חיכוך]] עם האוויר, שגודלו מתכונתי למהירות הרגעית של הצנחן. מהירות הצנחן כפונקציה של הזמן מקיימת את המשוואה: <math>\ mv' + bv = mg</math>, כאשר g [[תאוצת הכובד]] ו-b מקדם החיכוך עם האוויר. פתרון המשוואה הוא: <math>v = \frac{mg}{b} (1-e^{-bt/m})</math>. ה[[תאוצה]] של הצנחן היא דעיכה אקספוננציאלית: <math>\ a=v'=g e^{-bt/m}</math>.▼

גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. [[משוואות לוטקה-וולטרה]], למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות ב[[ביולוגיה]]. במעגלים חשמליים כמו [[מעגל RC]] או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו [[מתח חשמלי]]. ריכוז המגיבים ב[[תגובה כימית]] מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות [[רדיואקטיביות|רדיואקטיבית]] וכמו כן ה[[טמפרטורה]] של [[חוק הקירור של ניוטון|גוף חם בסביבה קרה]] גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.▼