מרחב מטרי שלם – הבדלי גרסאות

נוספו 2,309 בתים ,  לפני 8 שנים
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
מבחינה פורמלית, מרחב Y הוא השלמה של מרחב X אם ורק אם X [[איזומטריה|איזומטרי]] ל[[קבוצה צפופה]] במרחב Y ו-Y הוא מרחב מטרי שלם. ניתן להוכיח שכל שתי השלמות של X איזומטריות, כלומר הן זהות בכל הנוגע לתכונות המטריות שלהן.
 
== שיטות בנייה למרחב משלים ==
 
ישנן שתי שיטות בנייה בסיסיות למרחב המשלים.
 
'''שיטה ראשונה'''
 
נעזר בטענה - כל מרחב מטרי <math>(X,d)</math> ניתן לשכן בתוך [[מרחב בנך]] (הסבר מפורט על כך ניתן למצוא בערך זה תחת [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%91%D7%A0%D7%9A#.D7.9E.D7.A8.D7.97.D7.91.D7.99_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA מרחבי פונקציות] ). כלומר, קיים שיכון <math>f:X\hookrightarrow { L }^{ \infty }(X)</math>, כאשר מרחב הפונקציות הוא מרחב שלם. מספיק יהיה להביט בתמונה של X בתוך מרחב הפונקציות (שכן היא איזומורפית למרחב X). כדי להשלים את <math>f(X)</math>, נביט בקבוצה <math>Cl(f(X))</math>, היא ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של הקבוצה. קבוצה זו אכן סגורה, ולכן משלימה את תמונת X, ולכן משלימה (איזומורפית) את X.
 
''' שיטה שנייה '''
 
השיטה השנייה היא יותר קונסטרוקטיבית, ובמידה מסוימת יותר "חסכונית".
 
נביט בקבוצה <math>X'</math> הכוללת את כל [[סדרת קושי|סדרות קושי]] במרחב X. נגדיר עליה את הפסאודו מטריקה <math>d'(\{ { x }_{ n }\} ,\{ { y }_{ n }\} )=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ d( } { x }_{ n },{ y }_{ n })</math> . פונקציה זו מוגדת היטב ומגדירה פסאודו מטריקה על <math>X'</math>. נגדיר יחס שקילות ~ על <math>X'</math> על ידי
<math>\{ { x }_{ n }\} \sim \{ { y }_{ n }\} \Leftrightarrow d'(\{ { x }_{ n }\} ,\{ { y }_{ n }\} )=0 \Leftrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty }{ d( } { x }_{ n },{ y }_{ n })=0</math>
ביחס שקילות זה, נביט בקבוצת מחלקות השקילות: <math>{ X }_{ c }=\{ [\{ { x }_{ n }\} ] | \{ { x }_{ n }\} \in X'\} </math>. ראשית, קל לשכן את המרחב X למרחב <math>{X}_{c}</math> על ידי <math>a\mapsto [{ \{ a(n)=a\} }_{ n\in N }]</math>. השלמת המרחב X תהיה שוב ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של התמונה.
 
== מרחבים מטריים עם מבנה אלגברי ==