מספר משולשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לא לכל קורא זה ברור... |
←נוסחה מפורשת: הוכחה חמודה באמצעות אלגברה לינארית |
||
שורה 64:
וההוכחה הושלמה.
===הוכחה באמצעות אלגברה לינארית===
נסמן ב-<math>\ M_n(F)</math> את [[מרחב וקטורי|מרחב]] ה[[מטריצה ריבועית|מטריצות הריבועיות]] מסדר n על n מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שונה מ-2). נסמן ב-<math>V</math> את קבוצת ה[[מטריצה סימטרית|מטריצות הסימטריות]] וב-<math>W</math> את קבוצת ה[[מטריצה אנטי-סימטרית|מטריצות האנטי-סימטריות]]. קל לראות ש-<math>V</math> ו-<math>W</math> הם תת-מרחבים של <math>\ M_n(F)</math>.
מטריצה סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש על ומעל האלכסון הראשי ואילו מטריצה אנטי-סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש מעל (ולא על) האלכסון הראשי. לכן <math>\dim V = T_n</math> ו-<math>\dim W = T_{n-1}</math>.
המטריצה היחידה שהיא גם סימטרית וגם אנטי-סימטרית היא [[מטריצת האפס]]. כמו כן, כל מטריצה <math>A</math> ניתן לבטא כסכום של מטריצה סימטרית עם מטריצה אנטי-סימטרית כך:
:<math>A=\left(\frac{A+A^t}{2}\right)+\left(\frac{A-A^t}{2}\right)</math>
לכן <math>\ M_n(F)</math> הוא [[סכום ישר]] של שני המרחבים:
:<math>M_n(F) = V\oplus W</math>
אם נעבור למשוואת ה[[ממד (אלגברה)|ממד]]ים נקבל:
:<math>n^2=\dim M_n(F) = \dim V+ \dim W = T_n+T_{n-1}</math>
ומכאן נמשיך כמו בהוכחה הגאומטרית.
==תכונות==
| |||