קוטב (אנליזה מרוכבת) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ robot Adding: it |
ראו בדף השיחה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] הוא סוג מסויים של נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] של הפונקציה
==הגדרה פורמלית==
נקודה <math>\ z_0</math> היא '''קוטב''' של פונקציה מרוכבת <math>\ f(z)</math>, אם הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, ומתקיים <math> \ \lim _{z\to z_0}f(z)=\infty </math>.
==תכונות של קטבים==
הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math>\ (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math>\ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>. באופן שקול, יש <math> \ n </math> כך שהפונקציה <math> \ (z-z_0)^nf(z) </math> היא אנליטית.
הגבול <math>\ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math>\ k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
שורה 25 ⟵ 19:
# לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ n</math> בנקודה <math>\ z=0</math>.
#לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ 2</math> בנקודה <math>\ z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math>\ \cos z</math> הוא: <math>\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math>
כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה <math>\ z=\infty</math> נחשבת לקוטב של <math>\ f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב <math>\ z=0</math> בפונקציה <math>\ f(1/z)</math>.
==מונחים קשורים==
פונקציה מרוכבת שכל הסינגולריויות שלה הן קטבים נקראת [[פונקציה מרומורפית]]
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
| |||