קוטב (אנליזה מרוכבת) – הבדלי גרסאות

ראו בדף השיחה
מ (robot Adding: it)
(ראו בדף השיחה)
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] הוא סוג מסויים של נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] של הפונקציה, כלומר(הסוגים נקודההאחרים שבההם הפונקציהסינגולריות אינהסליקה מוגדרתוסינגולריות היטבעיקרית). אם הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים המתקרבים לנקודה, אז נקודה זו היא קוטב.
 
==הגדרה פורמלית==
נקודה <math>\ z_0</math> היא '''קוטב''' של פונקציה מרוכבת <math>\ f(z)</math>, אם הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, ומתקיים <math> \ \lim _{z\to z_0}f(z)=\infty </math>.
# הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, אבל לא מוגדרת או אינה אנליטית בנקודה עצמה (זהו '''קוטב מבודד'''); '''או'''
# <math>\ z_0</math> היא [[נקודת הצטברות]] של קטבים, כלומר ישנה סדרת קטבים <math>\ z_n</math> המתכנסת ל- <math>\ z_0</math>.
 
במקרה הראשון: אם הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}f(z)</math> קיים, זהו קוטב '''ניתן להסרה''' או 'קוטב מסדר 0'. המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים (וסופי), נקרא ה'''סדר''' של הקוטב. -מספר ובלבדזה שמספר כזהתמיד קיים. אםקוטב לאמסדר קיים כזה n, הקוטב1 נקרא '''קוטב עיקריפשוט'''. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול <math> \ Res_{z_0}f=\lim _{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>.
 
במקרה השני הקוטב תמיד נקרא 'קוטב עיקרי'.
 
קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''.
 
==תכונות של קטבים==
 
הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math>\ (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math>\ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>. באופן שקול, יש <math> \ n </math> כך שהפונקציה <math> \ (z-z_0)^nf(z) </math> היא אנליטית.
 
הגבול <math>\ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math>\ k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
# לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ n</math> בנקודה <math>\ z=0</math>.
#לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ 2</math> בנקודה <math>\ z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math>\ \cos z</math> הוא: <math>\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math> ישאין קוטב עיקרי בנקודה <math>\ z=0</math> אלא סינגולריות עיקרית.
 
כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה <math>\ z=\infty</math> נחשבת לקוטב של <math>\ f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב <math>\ z=0</math> בפונקציה <math>\ f(1/z)</math>.
 
==מונחים קשורים==
 
פונקציה מרוכבת שכל הסינגולריויות שלה הן קטבים נקראת [[פונקציה מרומורפית]]
 
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
35

עריכות