חוג ארטיני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
== מבנה ודוגמאות ==
=== חוגים ראשוניים ופשוטים ===
חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. אם R ארטיני ו-e [[אידמפוטנט]] אז eRe ארטיני. מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני.▼
כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית.
=== חוגים ארטיניים קומוטטיביים ===
[[חוג חבורה]] RG הוא ארטיני אם ורק אם R ארטיני ו-G חבורה סופית. ▼
באופן כללי יותר, חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה ו[[חוג נילפוטנטי]] מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.
חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.▼
=== פעולות על חוגים ארטיניים ===
▲חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. אם R ארטיני ו-e [[אידמפוטנט]] אז eRe ארטיני. מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני.
▲[[חוג חבורה]] RG הוא ארטיני אם ורק אם R ארטיני ו-G חבורה סופית. [[תחום שלמות]] אינו ארטיני אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
== תורת ההצגות ==
לחוג ארטיני R יש מספר סופי של [[מודול פשוט|מודולים פשוטים]] (עד כדי איזומורפיזם). יש להם גם אותו מספר של [[מודול אינג'קטיבי|מודולים אינג'קטיביים]] [[מודול אי-פריד|אי-פרידים]], ואותו מספר של [[מודול פרויקטיבי|מודולים פרויקטיביים]] אי-פרידים. האחרונים הם מהצורה Re, כאשר e [[אידמפוטנט]] פרימיטיבי.
▲חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.
== ארטיניות ונותריות ==
שורה 27 ⟵ 35:
לדוגמה, [[תחום שלמות]] לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]); אבל [[חוג המספרים השלמים]] (וכל [[חוג שלמים]] ב[[שדה מספרים]]) הם חוגים נותריים.
== מקורות ==
* Commutative Artinian Principal Ideal Rings, K. R. McLean, Proc. London Math. Soc. 26(3), (1973), 249--272.
[[קטגוריה:טיפוסי חוגים]]
| |||