הבדלים בין גרסאות בדף "חוג ארטיני"

הוסרו 1,040 בתים ,  לפני 7 שנים
מ
שוחזר מעריכות של עוזי ו. (שיחה) לעריכה האחרונה של Addbot
מ (שוחזר מעריכות של עוזי ו. (שיחה) לעריכה האחרונה של Addbot)
ארטיניות קשורה באידאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.
 
כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. המשפט המרכזי על חוגים ארטיניים הוא [[משפט ודרברן-ארטין]], שלפיו כל חוג ארטיני [[חוג ראשוני|ראשוני]] הוא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]] ([[משפט ודרברן-ארטין]]); ולכן כל חוג ארטיני ראשוני הואזהו [[חוג פשוט|פשוט]], ויש לו ממד סופי מעל המרכז שלו. מכאן נובע שכל [[אידאל ראשוני]] של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש [[ממד קרול]] אפס).
== מבנה ודוגמאות ==
 
כלחוגים אידיאלפשוטים ניליארטיניים בחוגהם ארטיניבעלי הואממד [[אידאלסופי נילפוטנטי|נילפוטנטי]].מעל בפרטהמרכז שלהם, שהוא שדה. תכונה חשובה נוספת של חוגים ארטיניים היא ש[[רדיקל ג'ייקובסון]] של חוג ארטיניכזה הוא [[אידאל נילפוטנטי.|נילפוטנטי]]; מודולו הרדיקל, החוג הוא [[סכום ישר]] של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.
=== חוגים ראשוניים ופשוטים ===
 
באופןחוג כלליארטיני יותר,קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים [[חוג מקומי|מקומיים]]. חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה ו[[חוג נילפוטנטי]] מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.
כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. כל חוג ארטיני [[חוג ראשוני|ראשוני]] הוא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]] ([[משפט ודרברן-ארטין]]); ולכן כל חוג ארטיני ראשוני הוא [[חוג פשוט|פשוט]], ויש לו ממד סופי מעל המרכז שלו. מכאן נובע שכל [[אידאל ראשוני]] של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש [[ממד קרול]] אפס).
 
כל אידיאל נילי בחוג ארטיני הוא [[אידאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]]. בפרט, [[רדיקל ג'ייקובסון]] של חוג ארטיני הוא נילפוטנטי. מודולו הרדיקל, החוג הוא [[סכום ישר]] של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.
 
=== חוגים ארטיניים קומוטטיביים ===
 
חוג ארטיני קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים [[חוג מקומי|מקומיים]]. כל [[חוג ראשי]] ארטיני קומוטטיבי מקומי הוא מנה של [[תחום הערכה דיסקרטית]].
 
באופן כללי יותר, חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה ו[[חוג נילפוטנטי]] מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.
 
=== פעולות על חוגים ארטיניים ===
 
חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. אם R ארטיני ו-e [[אידמפוטנט]] אז eRe ארטיני. מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני.
 
[[חוג חבורה]] RG הוא ארטיני אם ורק אם R ארטיני ו-G חבורה סופית. [[תחום שלמות]] אינו ארטיני אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
 
== תורת ההצגות ==
 
לחוג ארטיני R יש מספר סופי של [[מודול פשוט|מודולים פשוטים]] (עד כדי איזומורפיזם). יש להם גם אותו מספר של [[מודול אינג'קטיבי|מודולים אינג'קטיביים]] [[מודול אי-פריד|אי-פרידים]], ואותו מספר של [[מודול פרויקטיבי|מודולים פרויקטיביים]] אי-פרידים. האחרונים הם מהצורה Re, כאשר e [[אידמפוטנט]] פרימיטיבי.
 
חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.
 
== ארטיניות ונותריות ==
לדוגמה, [[תחום שלמות]] לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]); אבל [[חוג המספרים השלמים]] (וכל [[חוג שלמים]] ב[[שדה מספרים]]) הם חוגים נותריים.
 
== מקורות ==
* Commutative Artinian Principal Ideal Rings, K. R. McLean, Proc. London Math. Soc. 26(3), (1973), 249--272.
[[קטגוריה:טיפוסי חוגים]]
8,258

עריכות