הבדלים בין גרסאות בדף "חוג ארטיני"

נוספו 1,040 בתים ,  לפני 7 שנים
מ
שוחזר מעריכות של שדדשכ (שיחה) לעריכה האחרונה של עוזי ו.
מ (שוחזר מעריכות של עוזי ו. (שיחה) לעריכה האחרונה של Addbot)
מ (שוחזר מעריכות של שדדשכ (שיחה) לעריכה האחרונה של עוזי ו.)
ארטיניות קשורה באידאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.
 
== מבנה ודוגמאות ==
כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. המשפט המרכזי על חוגים ארטיניים הוא [[משפט ודרברן-ארטין]], שלפיו כל חוג ארטיני [[חוג ראשוני|ראשוני]] הוא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]]; ולכן זהו [[חוג פשוט]]. מכאן נובע שכל [[אידאל ראשוני]] של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש [[ממד קרול]] אפס).
 
=== חוגים ראשוניים ופשוטים ===
חוגים פשוטים ארטיניים הם בעלי ממד סופי מעל המרכז שלהם, שהוא שדה. תכונה חשובה נוספת של חוגים ארטיניים היא ש[[רדיקל ג'ייקובסון]] של חוג כזה הוא [[אידאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]]; מודולו הרדיקל, החוג הוא [[סכום ישר]] של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.
 
כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. המשפט המרכזי על חוגים ארטיניים הוא [[משפט ודרברן-ארטין]], שלפיו כל חוג ארטיני [[חוג ראשוני|ראשוני]] הוא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]] ([[משפט ודרברן-ארטין]]); ולכן זהוכל חוג ארטיני ראשוני הוא [[חוג פשוט|פשוט]], ויש לו ממד סופי מעל המרכז שלו. מכאן נובע שכל [[אידאל ראשוני]] של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש [[ממד קרול]] אפס).
חוג ארטיני קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים [[חוג מקומי|מקומיים]]. חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה ו[[חוג נילפוטנטי]] מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.
 
חוגיםכל פשוטיםאידיאל ארטינייםנילי הםבחוג בעליארטיני ממדהוא סופי[[אידאל מעלנילפוטנטי|נילפוטנטי]]. המרכז שלהםבפרט, שהוא שדה. תכונה חשובה נוספת של חוגים ארטיניים היא ש[[רדיקל ג'ייקובסון]] של חוג כזהארטיני הוא [[אידאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]];. מודולו הרדיקל, החוג הוא [[סכום ישר]] של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.
 
=== חוגים ארטיניים קומוטטיביים ===
 
חוג ארטיני קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים [[חוג מקומי|מקומיים]]. כל [[חוג ראשי]] ארטיני קומוטטיבי מקומי הוא מנה של [[תחום הערכה דיסקרטית]].
 
חוגבאופן ארטיניכללי קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים [[חוג מקומי|מקומיים]].יותר, חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה ו[[חוג נילפוטנטי]] מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.
 
=== פעולות על חוגים ארטיניים ===
 
חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. אם R ארטיני ו-e [[אידמפוטנט]] אז eRe ארטיני. מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני.
 
[[חוג חבורה]] RG הוא ארטיני אם ורק אם R ארטיני ו-G חבורה סופית. [[תחום שלמות]] אינו ארטיני אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
 
== תורת ההצגות ==
 
לחוג ארטיני R יש מספר סופי של [[מודול פשוט|מודולים פשוטים]] (עד כדי איזומורפיזם). יש להם גם אותו מספר של [[מודול אינג'קטיבי|מודולים אינג'קטיביים]] [[מודול אי-פריד|אי-פרידים]], ואותו מספר של [[מודול פרויקטיבי|מודולים פרויקטיביים]] אי-פרידים. האחרונים הם מהצורה Re, כאשר e [[אידמפוטנט]] פרימיטיבי.
 
חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.
 
== ארטיניות ונותריות ==
לדוגמה, [[תחום שלמות]] לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]); אבל [[חוג המספרים השלמים]] (וכל [[חוג שלמים]] ב[[שדה מספרים]]) הם חוגים נותריים.
 
== מקורות ==
* Commutative Artinian Principal Ideal Rings, K. R. McLean, Proc. London Math. Soc. 26(3), (1973), 249--272.
[[קטגוריה:טיפוסי חוגים]]
8,258

עריכות