ויקיפדיה

טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''טור המספרים הטבעיים''' הוא תוצאת ה[[חיבור]] של [[סדרה|סדרת]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], מ-[[1 (מספר)|1]] ועד [[אינסוף]] (<math>\ 1+2+3+\cdots</math>). [[טור (מתמטיקה)|טור]] זה אינו [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנס]], ולכן ואיןאין לסדרהלו סכום במובן הרגיל של המילה. מצד שני, ניתן במספר שיטות סיכום שונות להגיע לתוצאה <math>\ 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}</math> הנוגדת את ה[[אינטואיציה]]. פרט לכך שחיבור של מספרים הולכים וגדלים נותן תוצאה שאינה אינסוף, תוצאה זו מפליאה עקב שתי סיבות נוספות: חיבור של מספרים חיוביים נותן מספר שלילי, וחיבור של מספרים שלמים נותן שבר.
 
למרות שבמבט ראשון לא נראה שלסכום סדרת המספרים הטבעיים יהיה שימוש מעשי כלשהו, נעשה בו שימוש במספר תחומים מדעיים, כגון: [[אנליזה מרוכבת]], [[תורת שדות קוונטית]] ו[[תורת המיתרים]]. בתורת המיתר הבוזוני, למשל, שימוש בסכום זה מביא לתוצאה של קיומם של 26 ממדים (ממד זמן ו-25 ממדי מרחב).
שורה 5:
שיטות סיכום רבות משמשות במתמטיקה לחישוב סכומים סופיים לסדרות מתבדרות. בפרט, שיטות המשתמשות ב[[פונקציית זטא של רימן]] וב[[סיכום רמנוג'אן]]<ref>שיטת סיכום שהמציא [[סריניוואסה רמנוג'אן]]. ראו [[:en:Ramanujan summation|Ramanujan summation]] בוויקיפדיה האנגלית.</ref> נתנו לסדרת המספרים הטבעיים את הסכום <math>\ -\frac{1}{12}</math><ref>Lepowsky, J. (1999), [http://arxiv.org/abs/math/9909178 "Vertex operator algebras and the zeta function"], in Naihuan Jing and Kailash C. Misra, Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, Contemporary Mathematics 248, pp. 327–340 {{אנגלית}}</ref>.
 
== הוכחתסיכום טורלא מתבדרסטנדרטי ==
 
ניתן להוכיח ש[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר על ידי הפעלת אחד מ[[מבחני התכנסות לטורים|מבחני ההתכנסות לטורים]]. המבחן הפשוט ביותר הוא בדיקה שהאיבר הכללי של הטור מתכנס ל-0 כאשר <math>\ n\to \infin </math>. במקרה של טור המספרים הטבעיים, האיבר ה-n-י הוא המספר <math>\ n</math> עצמו, ובוודאי שמספר זה רק הולך וגדל, ואינו מתכנס לאפס.
[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי אינו שואף לאפס.
 
 
מבחן נוסף שניתן להפעיל הוא בדיקת התכנסות [[סדרה|סדרת]] הסכומים החלקיים של הטור. יהי <math>\ \sum_{k=1}^\infty k</math> טור המספרים הטבעיים. נגדיר סכום חלקי של הטור <math>\ S_n</math> בתור סכום <math>\ n</math> המספרים הטבעיים הראשונים בטור, כלומר <math>\ S_n=\sum_{k=1}^n k</math>. זהו [[טור חשבוני]] ש[[סכום סדרה חשבונית|סכומו]] הוא [[מספר משולשי]] ונתון על ידי הנוסחה:
: <math>\ S_n=\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}</math>
ניתן לראות כי הסכומים החלקיים של הטור גדלים ללא [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] כאשר n שואף לאינסוף, ולכן סדרת הסכומים החלקיים מתבדרת, וכתוצאה מכך טור המספרים הטבעיים נכשל גם במבחן זה.
 
== חישוב סכום סופי ==
=== חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן ===
{{להשלים}}
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/טור_המספרים_הטבעיים"