טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 7:
== סיכום לא סטנדרטי ==
[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא.
ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא [[פונקציונל לינארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]).
לדוגמא, '''שיטת הסיכום של [[הנריק נילס אבל|אבל]]''' מוגדרת באופן הבא: <math>\ \Alpha(a_1,a_2,\dots) = \lim_{x \rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math>, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמא, השוויון <math>\ x-2x^2+3x^3-4x^4+5x^5-\cdots = \frac{x}{(x+1)^2}</math> נכון לכל <math>\ |x|<1</math> (הטור [[התכנסות בהחלט|מתכנס בהחלט]] בתחום הזה), וה[[גבול של פונקציה|גבול]] כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-<math>\ \frac{1}{4}</math>, על-ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל <math>\ 1-2+3-4+5-\cdots = \frac{1}{4}</math>, למרות שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל <math>\ \Alpha : V' \rightarrow \mathbb{R}</math>, כאשר 'V הוא המרחב הוקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הוקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו <math>\ (1,-2,3,-4,5,\cdots)</math>).
הטור של המספרים הטבעיים, <math>\ 1+2+3+4+5+\cdots</math>, אינו מתכנס לפי אבל (כלומר, הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. תאורטית, ניתן לעשות זאת על-ידי הרחבות של [[משפט האן-בנך]]. באופן יותר קונקרטי, נוח להאמין שפעולת הסיכום מתחלפת עם פעולות טבעיות מסויימות. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה <math>P : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> לפי <math>\ P(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots) = (0,a_1,0,a_2,0,a_3,\dots)</math>. קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואף אינה משנה את הסכום. יתרה מזו, אם נסמן <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math>, נגלה ש-<math>\ \alpha - 4P(\alpha) = (1,-2,3,-4,5,\dots)</math>. כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום <math>\ \Alpha'</math> המוגדרת על מרחב שמכיל את הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> וסגור למתיחה, נקבל מיד ש-<math>\ -3\Alpha'(\alpha) = \Alpha(\alpha - 4 P(\alpha)) = \Alpha(1,-2,3,-4,5,\dots) = \frac{1}{4}</math>, כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו, <math>\ 1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}</math>.
=== חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן ===
| |||