טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות

ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא [[פונקציונל לינארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]).{{הערה|למשל, [[משפט האן-בנך]] מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.}}

 

 

טור המספרים הטבעיים, <math>\ 1+2+3+4+5+\cdots</math>, אינו מתכנס לפי אבל (כלומר, הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. באופן יותר קונקרטי, נוח להאמין שפעולת הסיכום מתחלפת עם פעולות טבעיות מסוימות. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה <math>P : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> לפי <math>\ P(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots) = (0,a_1,0,a_2,0,a_3,\dots)</math>. קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואף אינה משנה את הסכום. יתרה מזו, אם נסמן <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math>, נגלה ש-<math>\ \alpha - 4P(\alpha) = (1,-2,3,-4,5,\dots)</math>. כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום <math>\ \Sigma''</math> המוגדרת על מרחב שמכיל את הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> וסגור למתיחה, נקבל מיד ש-<math>\ -3\Sigma''(\alpha) = \Sigma'(\alpha - 4 P(\alpha)) = \Alpha(1,-2,3,-4,5,\dots) = \frac{1}{4}</math>, כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו, <math>\ 1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}</math>.