טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 13:
לדוגמה, '''שיטת הסיכום של אבל''' (שפיתח [[נילס הנריק אבל]]) מוגדרת באופן הבא: <math>\ \Sigma'(a_1,a_2,\dots) = \lim_{x \rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math>, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון <math>\ x-2x^2+3x^3-4x^4+5x^5-\cdots = \frac{x}{(x+1)^2}</math> נכון לכל <math>\ |x|<1</math>{{הערה|ה[[טור הנדסי|טור ההנדסי]] <math>\ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots = \frac{1}{1+x}</math> [[התכנסות במידה שווה|מתכנס במידה שווה]] בכל תת-קטע <math>[-1+\delta,1-\delta]</math>, ולכן אפשר לגזור אותו רכיב רכיב ולקבל את השוויון <math>\ 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}</math>.}}, וה[[גבול של פונקציה|גבול]] כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-<math>\ \frac{1}{4}</math>, על-ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל <math>\ 1-2+3-4+5-\cdots = \frac{1}{4}</math>, למרות שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל <math>\ \Sigma' : V' \rightarrow \mathbb{R}</math>, כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו <math>\ (1,-2,3,-4,5,\cdots)</math>).
טור המספרים הטבעיים, <math>\ 1+2+3+4+5+\cdots</math>, אינו מתכנס אפילו לפי אבל (כלומר, הסדרה <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math> אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. בהרחבה סתמית יש מעט מאד תועלת, משום שפורמלית אפשר להתבונן במרחב הווקטורי <math>\ V' + \mathbb{R}\alpha</math>, ולהגדיר את הסכום של <math>\ \alpha</math> כרצוננו. כדי להגביל את טווח האפשרויות ולקבל שיטות סיכום משמעותיות יותר, מניחים שפעולות טבעיות מסוימות אינן משנות את הסכום. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה <math>P : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> לפי <math>\ P(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots) = (0,a_1,0,a_2,0,a_3,\dots)</math>. קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואינה משנה את הסכום שם. יתרה מזו, אם נסמן <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math>, נגלה ש-<math>\ \alpha - 4P(\alpha) = (1,-2,3,-4,5,\dots)</math>. כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום <math>\ \Sigma''</math> המוגדרת על מרחב ''V שמכיל את הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> וסגור למתיחה, ונניח בנוסף שמתיחה אינה משנה את הסכום ב-''V, נקבל מיד ש-<math>\ -3\Sigma''(\alpha) = \Sigma'(\alpha - 4 P(\alpha)) = \
=== חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן ===
| |||