הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"

מ (←‏הגדרה: שינו' תצוגה של סימני פעולות)
 
== הגדרה ==
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math> \ F </math> עםומקיים שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבורכפל" ו-"כפלחיבור" (המסומנות בדרך כלל ב-: '''+<math>\cdot</math>''' ו-, '''+''') ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימותכך אתשמתקיימות התכונות הבאות:
*חיבור
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a + b) \in \mathbb{F}</math>
* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
*# מתקיים [[חוק הפילוג]]קומוטטיביות (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבורחילוץ): לכל <math>\ a, b, c</math>\in ב- <math>\ mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a\cdot( +b+c) = (a\cdotb b)+(a\cdot c)</math>.
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a +b) + c = a + (b +c)</math>
 
# קיום ניטרלי לחיבור: קיים איבר <math>0_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a + 0_F = a</math>
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
# קיום איבר נגדי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> קיים איבר <math>-a</math> כך ש- <math>a + (-a) = 0_F</math>
*כפל
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a * b) \in \mathbb{F}</math>
# קומוטטיביות (חילוץ): לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a * b) = (b * a)</math>
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a * b) * c = a * (b * c)</math>
# קיום ניטרלי לכפל: קיים איבר <math>1_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a * 1_F = a</math>
# קיום איבר הפכי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}\setminus\{0_F\}</math> קיים איבר <math>a^{-1}</math> כך ש- <math>a + a^{-1} = 1_F</math>
*בנוסף
#דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a * (b +c) = (a * b) + (a * c)</math>
#<math>1_F \neq 0_F</math>
 
== דוגמאות==
28

עריכות