אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בערך המקורי נכתב כי: "אורך צלע במשולש קטן או שווה לסכום שתי הצלעות האחרות" - והרי זו שגיאה מתמטית לטעון שאורך צלע במשולש עשוי להיות שווה לסכו...
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
[[תמונה:Triangle inequality.svg|שמאל|250px]]
 
ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון המשולש''' הוא התרגום האלגברי לעובדה שב[[משולש]], אורכה של כל [[צלע (גאומטריה)|צלע]] תמיד יהיה קטן יותר מסכום ארכיאורכי הצלעות האחרות, שבתורה נובעת מכך שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.
 
בניסוח אלגברי, [[אי-שוויון]] המשולש מנוסח כאי-שוויון חלש: <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא הפונקציה המודדת את המרחק. אי-שוויון זה נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]].
שורה 10:
== אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים ==
 
בין המספריםה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] מודדים מרחק באמצעות ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], ולכן אי-שוויון המשולש הוא <math>\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|</math>. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים <math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו- <math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math>, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y. <br />
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: <math>|x-y| \geq \bigg||x|-|y|\bigg|</math>
 
שורה 27:
 
אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות [[מטריקה]] ו[[מרחב מטרי]]. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה <math>\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|</math> בהגדרה של [[נורמה (אנליזה מתמטית)|נורמה]] ו[[מרחב נורמי]].
 
 
==ראו גם==