יריעת גרסמן – הבדלי גרסאות

החבורה הלינארית הכללית <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math> [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת]] [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבית]] על אוסף תת-המרחבים מממד k. ה[[מייצב (מתמטיקה)|מייצב]] של תת-מרחב הוא תת-החבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים <math>\ H_k = \left(\begin{array}{cc}* & * \\ 0 & *\end{array}\right)</math> (עם בלוקים אלכסוניים בגודל <math>\ k \times k</math> ו-<math>\ (n-k) \times (n-k)</math>), וכך מתקבלת הזהות <math>\ \operatorname{Gr}(k,F^n) = \operatorname{GL}_n(F)/H_k</math>. בפרט, הממד של יריעת גרסמן הוא <math>\ k(n-k)</math>.

מעלאם הממשיים<math>\ אפשר לקבוע על המרחבF^n</math> הוקטורימצוייד ב[[מרחב מכפלה פנימית|מכפלה פנימית]] (או ביתר כלליות ב[[תבנית ריבועית]] אנאיזוטרופית), ואזאז הפעולה על תת-קבוצות אורתונורמליותאורתוגונליות מספקת את הזהות <math>\ \operatorname{Gr}(k,F^n) = O_n(F)/(O_k(F) \times O_{n-k}(F))</math>. בפרט,המעבר הממדלחבורת שלהאיזומטריות המיוחדות <math>\ \operatorname{SO}_n</math> מגדיר את '''יריעת גרסמן הואהמכוונת''' <math>\ k\operatorname{SO}_n(F)/(\operatorname{SO}_k(F) \times \operatorname{SO}_{n-k}(F))</math>, שהיא כיסוי כפול של יריעת גרסמן מאותם ממדים.