|
== הגדרה ==
מטריצות ריבועיות <math>\ A, B</math> בגודל <math>\ n \times n</math> הן '''דומות''' אם קיימת [[מטריצה הפיכה|מטריצה ריבועית הפיכה]] <math>\ P</math>, כך שמתקייםש-<math>\ A = P^{-1}BP</math>. ▼
תהיינה <math>\ A, B</math> מטריצות ריבועיות בגודל
<math>\ n \times n</math>. אומרים שהמטריצה
<math>\ A</math> '''דומה''' למטריצה <math>\ B</math>
▲אם קיימת [[מטריצה הפיכה|מטריצה ריבועית הפיכה]] <math>\ P</math>, כך שמתקיים
:<math>\ A = P^{-1}BP</math>.
יחס הדמיון הוא [[יחס שקילות]], משום שהוא [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] (כל מטריצה דומה לעצמה: קח <math>\ P=I</math>, [[מטריצת היחידה]]), [[יחס סימטרי|סימטרי]] (אם <math>\ A = P^{-1}BP</math> אז <math>\ B = P A P^{-1}</math>) ו[[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]] (אם <math>\ A = P^{-1}BP</math> וגם <math>\ B = Q^{-1}CQ</math> אז <math>\ A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP) </math>, כך ש-<math>\ A</math> דומה ל-<math>\ C</math>).
נשים לב שיחס הדמיון הוא [[יחס שקילות]]:
# '''כל מטריצה דומה לעצמה:''' ניקח <math>\ P=I</math> ([[מטריצת היחידה]]) ואז <math>\ A = I^{-1}AI</math>.
# '''אם A דומה ל-B אזי B דומה ל-A:''' אם <math>\ A = P^{-1}BP</math> אזי <math>\ Q=P^{-1}</math> גם היא מטריצה הפיכה ולכן <math>\ B = Q^{-1}AQ</math> ולפי ההגדרה B דומה ל-A. בגלל הסימטריות הזאת אפשר לומר ש- <math>\ A, B</math> '''דומות''' זו לזו.
# '''אם A דומה ל-B ו-B דומה ל C אזי A דומה ל C:'''
::נניח ש <math>\ A = P^{-1}BP</math> וגם <math>\ B = Q^{-1}CQ</math>
::אזי <math>\ A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP) </math>
::וברור גם ש <math>\ QP</math> הפיכה. לכן <math>\ A</math> דומה ל-<math>\ C</math> לפי ההגדרה.
== מטריצות והעתקות לינאריות ==
כל [[העתקה לינארית]] ממרחב וקטורי <math>\,V</math> (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות הןאינן מימושיםאלא שוניםהצגות שונות לאותו אובייקט, ותו לא. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.
מבחינה עקרונית, השאלה אלו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות <math>\ A</math> ו- <math>\ B</math> בעלות רכיבים בשדה <math>\ \mathbb F</math> הן 'דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>', אם קיימת מטריצה <math>\ P</math> הפיכה, בעלת מקדמים '''באותו שדה''', המקיימת את התנאי <math>\ A = P^{-1}BP</math>. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של <math>\ \mathbb F</math> (המאפשרת יותר חופש בבחירת <math>\ P</math>), גם אם אינן דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>. ▼אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל <math>\ \mathbb F</math> דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל <math>\ \mathbb F</math>. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של [[צורה רציונלית|צורות רציונליות]] של מטריצות.
==דמיון למטריצות מיוחדות==
אחד המשפטים החשובים באלגברה לינארית קובע שמעל [[שדה סגור אלגברית]], כל מטריצה דומה ל[[צורת ז'ורדן|מטריצת ז'ורדן]] אחת ויחידה ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סדר הבלוקים).
=== התלות בשדה הבסיס ===
==תכונות==
▲מבחינה עקרוניתא-פריורי, השאלה אלו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות <math>\ A</math> ו- <math>\ B</math> בעלות רכיבים בשדה <math>\ \mathbb F</math> הן 'דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>', אם קיימת מטריצה <math>\ P</math> הפיכה, בעלת מקדמים '''באותו שדה''', המקיימת את התנאי <math>\ A = P^{-1}BP</math>. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של <math>\ \mathbb F</math> (המאפשרת יותר חופש בבחירת <math>\ P</math>), גם אם אינן דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>. אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל <math>\ \mathbb F</math> דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל <math>\ \mathbb F</math>. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של [[צורה רציונלית|צורות רציונליות]] של מטריצות.
==מאפיינים ומיון למחלקות==
למטריצות דומות יש אותו [[פולינום אופייני]] (ולכן גם אותם [[דטרמיננטה]], [[עקבה (אלגברה)|עקבה]] ו[[ערך עצמי|ערכים עצמיים]]), אותו [[פולינום מינימלי]], ואותה [[דרגה (אלגברה לינארית)|דרגה]]. בדרך כלל תכונות אלו אינן מספיקות כדי להבטיח דמיון: אם הפולינוםלשתי האופיינימטריצות מתפצלבגודל (וזה<math>\ תמיד2\times כך2</math> מעלאו [[שדה<math>\ סגור3\times אלגברית]])3</math> יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, למטריצותאז הן דומות, אותהאבל [[צורתלמטריצות ז'ורדן]].גדולות יותר טענה זו אינה נכונה.
מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורה רציונלית. כאשר הפולינום האופייני מתפצל (וזה תמיד כך מעל [[שדה סגור אלגברית]]), מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה [[צורת ז'ורדן]].
לעתים תכונות אלה מספיקות כדי להוכיח דמיון (למשל, אם לשתי מטריצות בגודל <math>\ 2\times 2</math> או <math>\ 3\times 3</math> יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות.), אך לרוב לא מדובר בתנאי מספיק לדמיון.
==ראו גם==
| 