|
== גאומטריה פולרית ==
{{הפניה לערך מורחב|מרחב פולרי}}
גאומטריה של נקודות וישרים היא '''מרחב לינארי חלקי''' אם דרך כל שתי נקודות עובר לכל היותר ישר אחד, ועל כל ישר יש לפחות שתי נקודות. שתי נקודות הן '''מחוברות''' אם עובר דרכן ישר משותף (במרחב לינארי כל שתי נקודות מחוברות).
'''מרחב פולרי''' הוא מבנה גאומטרי המשלב תת-מרחבים פרוייקטיביים באופן שבין כל שני תת-מרחבים מקסימליים מחברת שרשרת של מרחבים מאותו סוג, וכך שהחיתוך בין כל שני תת-מרחבים מקסימליים הוא בעל קו-ממד 1. לדוגמא, אוסף הנקודות במרחב פרוייקטיבי המאפסות תבנית ריבועית הומוגנית, עם הישרים המאפסים את התבנית, מהווה מרחב פולרי. יש שלושה טיפוסים ידועים של מרחבים פולריים, וכל מרחב פולרי שייך לאחד הטיפוסים.
גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא '''מרחב פולרי''' אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו '''מרחב פולרי מוכלל'''). מרחב פולרי הוא '''מנוון''' אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות. קבוצת נקודות במרחב פולרי היא '''תת-מרחב''' אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה. כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה). ה'''דרגה''' של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים. כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב לינארי חלקי<!--משפט 2.9 ב-Uberberg-->. מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא '''מלבן מוכלל''' (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים לינארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים)<!--משפט 2.20 ב-Uberberg-->. נניח ש-S מרחב פולרי מדרגה סופית. לכל תת-מרחב יש תת-מרחב מקסימלי זר לו. כל תת-מרחב מהווה חיתוך של שני תת-מרחבים מקסימליים.
תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא '''על-מישור פרויקטיבי''', אם הוא חותך כל ישר של S. נסמן ב-<math>\ p^{\perp}</math> את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p. לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך <math>\ U_p = U \cap p^{\perp}</math> הוא על-מישור פרויקטיבי של U. אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב <math>\ \langle U_p,p\rangle</math> הוא מקסימלי<!--, והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-<math>\ U_p</math>-->. כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרויקטיבי ('''משפט Buekenhout''', המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult). משפט זה מכניס את מושג הממד של מרחבים פרויקטיבים לתאוריה של מרחבים פולריים.
'''משפט Buekenhout-Shult''' מתאר את מבנה תת-המרחבים של מרחב פולרי S מדרגה סופית n, כדלקמן: (1) כל תת-מרחב מקסימלי המכיל לפחות שני ישרים הוא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
(2) חיתוך של שני תת-מרחבים הוא תת-מרחב;
(3) לכל נקודה p מחוץ לתת-מרחב מקסימלי U, יש תת-מרחב מקסימלי יחיד W העובר דרך p כך שהחיתוך שלו עם U הוא מממד n-2 (החיתוך כולל בדיוק את הנקודות של U המחוברות ל-p);
(4) יש שני תת-מרחבים מקסימליים זרים.
למעשה, ארבע תכונות אלו הרכיבו את ההגדרה המקורית של [[ז'אק טיץ]]. אכן, טיץ הגדיר מרחב פולרי כגאומטריה קבוצתית עם אובייקטים מטיפוסים <math>0,1,\dots,n-1</math> (הקרויים נקודה, ישר,... על-מישור, בהתאמה), המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות: (1) הגאומטריה השאריתית בכל על-מישור היא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
(2) החיתוך של כל שני אובייקטים הוא אובייקט;
(3) לכל נקודה p מחוץ לעל-מישור U יש על-מישור יחיד דרך הנקודה כך שהחיתוך שלו עם U הוא אובייקט מממד n-2, והוא כולל את הנקודות של U המחוברות ל-p;
(4) יש שני על-מישורים זרים.
בכל מרחב כזה, הגאומטריה של הנקודות והישרים היא מרחב פולרי. במלים אחרות, ההגדרה האקסיומטית לפי נקודות וישרים שקולה לזו של טיץ על ארבע התכונות של תת-מרחבים.
== גאומטריה שאריתית ==
| 