השיטה העשרונית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הצגה עשרונית של מספרים: קישורים פנימיים |
|||
שורה 11:
[[מספרים עשרוניים]] נדרשים להצגת [[מספר]]ים לא שלמים, אין די בחזקות החיוביות של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, <math>\ 10^{-1}=\tfrac{1}{10}</math>, <math>\ 10^{-2}=\tfrac{1}{10^2}</math>), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו <math>\ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot \tfrac{1}{10}</math>. את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.
בשיטה העשרונית אפשר להציג כ'''[[שבר עשרוני]] סופי''' רק את המספרים השווים ל[[חילוק|מנה]] <math>\ \frac{a}{10^n}</math> בין מספר טבעי a לבין חזקה של 10. מספרים רבים, וביניהם [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). בדיוק כפי שרצף ספרות סופי <math>\ 0.a_1a_2\dots a_n</math> מובן כסכום <math>\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}</math>, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי <math>\ 0.a_1a_2\dots a_n \dots </math> כסכום אינסופי, <math>\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots</math>.
מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל [[מספר ממשי]] x, אפשר להציג כסכום '''אינסופי''' של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן ה[[תכונת ארכימדס|ארכימדיות]] של [[שדה המספרים הממשיים]]. [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט לכל]] מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש '''גם''' פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה [[0.999...|רצף אינסופי של תשיעיות]].
|