|
הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. [[מספר טבעי|מספרים]] גדולים מ- 9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] של המספר [[10 (מספר)|10]] (השווה ל- 9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, <math>\ 23 = 2\cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 = 2\cdot 10 + 3\cdot 1</math>. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.
[[מספרים עשרוניים]] נדרשים להצגת [[מספר]]ים לא שלמים, איןמשתמשים דיגם בחזקות החיוביותהשליליות של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, <math>\ 10^{-1}=\tfrac{1}{10}</math>, <math>\ 10^{-2}=\tfrac{1}{10^2}</math>), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודהבעזרת נקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו <math>\ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot \tfrac{1}{10}</math>. את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.
בשיטה העשרונית אפשר להציג כ'''[[שבר עשרוני]] סופי''' רק את המספרים השווים ל[[חילוק|מנה]] <math>\ \frac{a}{10^n}</math> ביןשל מספר טבעי a לבין חזקהוחזקה של 10. מספריםרצף רבים,הספרות וביניהם [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). בדיוק כפי שרצף ספרות סופיהסופי <math>\ 0.a_1a_2\dots a_n</math> מובן כסכום <math>\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}</math> השווה למנה זו. מספרים אחרים, שהואכגון לעולם1/3, מספרלא רציונליניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). ניתן לקרב מספרים כאלה בעזרת שברים עשרוניים סופיים ב[[קירוב]] טוב כרצוננו, אפשראך להביןהייצוג אתהמדויק הרצףידרוש האינסופיאינסוף ספרות. שברים כאלה נכתבים בעזרת קירוב סופי ואחריו שלוש נקודות (<math>\ 0.a_1a_2\dots a_n \dots </math>). כסכוםלדוגמה, אינסופי,הסימון <math>\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+0.33\dots</math> מציין כי הכוונה למספר שלייצוגו המדויק נדרשות ספרות 3 נוספות, עד אינסוף.
מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל [[מספר ממשי]] x, אפשר להציג כסכום '''אינסופי''' של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן ה[[תכונת ארכימדס|ארכימדיות]] של [[שדה המספרים הממשיים]]. [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט לכל]] מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש '''גם''' פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה [[0.999...|רצף אינסופי של תשיעיות]].
בחיי המעשה לא ניתן לטפל בביטויים אינסופיים, ולכןולעתים מסתפקים ב[[קירוב]]בקירוב המתקבל מן הספרות הראשונות של המספר העשרוני. במחשבון כיס שרמת הדיוק שלו מגיעה לשמונה ספרות עשרוניות, יופיע הביטוי 0.33333333 במקום 1/3 (שייצוגו המלא דורש אינסוף ספרות חוזרות).
== חישוב בשיטה העשרונית ==
|
