משפט ליוביל (קירוב דיופנטי) – הבדלי גרסאות

לכן <math>\ \frac{p/}{q}</math> נמצא בקטע <math>\ [\alpha-1,\alpha+1]</math> (ההפרש בינו לבין <math>\ \alpha</math> קטן מ-1) והוא אינו שורש של <math>\ f</math> ואין אף שורש כזה בינו לבין <math>\ \alpha</math> (ההפרש בינו לבין <math>\ \alpha</math> קטן מההפרש של <math>\ \alpha</math> מכל שורש והוא לא שווה ל-<math>\ \alpha</math> כי <math>\ \alpha</math> אי-רציונלי).

לפי [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] קיים <math>\ x_0</math> בין <math>\ frac{p/}{q}</math> ל-<math>\ \alpha</math> כך שמתקיים:

:<math>\ f(\alpha)-f(\frac{p/}{q}) = (\alpha - \frac{p/}{q}) \cdot f'(x_0x_{0})</math>

: <math>\left\vert \alpha-\frac{p}{q}\right\vert =\frac{\left\vert f(\alpha)-f(\frac{p}{q})\right\vert }{\left\vert f'(x_{0})\right\vert }=\left\vert \frac{f(\frac{p/}{q})}{f'(x_{0})}\right\vert </math>

: <math>\left\vert f\left(\frac{p}{q}\right) \right\vert = \left\vert \sum_{i=0}^{n c_i }c_{i}p^{i }q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum_{i=0}^{n c_i }c_{i}p^{i }q^{n-i} \right\vert }{q^{n} }\ge \frac {1}{q^{n} }</math>

האי-שוויון נובע מכך ש-<math>\ frac{p/}{q}</math> אינו שורש ולכן המונה הוא מספר שלם גדול מאפס.

'''הוכחה:''' נניח בשלילה שמספר ליוביל <math>\ x</math> הוא אלגברי, ממעלה n. הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי המשפט, קיימים <math>\ A, n</math> כך שלכל <math>\ frac{p/}{q}</math> מתקיים <math>\ \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} </math>. נבחר <math>\ m</math> כך ש-<math>\ \frac{1/}{2^m<} A</math>. לפי הגדרת מספר ליוביל קיים <math>\ p/q</math> כך שמתקיים <math>\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{m+n}}=\frac1{q^mq^n} \le \frac1{2^m}\frac1{q^n} \le \frac A{q^n} </math>, וזו סתירה למשפט.