שדה פיצול – הבדלי גרסאות

ב[[תורת השדות]] ה[[מתמטיקה|מתמטית]], '''שדה פיצול''' של [[פולינום]] <math>\ f</math> מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>, הוא שדה <math>E</math> המרחיב את <math>F</math>, בו הפולינום מתפצל לגורמים לינאריים, בצורה <math>\ f(x)=\lambda(x-a_1)\cdots (x-a_n)</math> , כאשר <math>a_1,\dots,a_n\in E</math> ו-<math>\lambda\in F</math>, ושאין לו תת-שדות (אמיתיים) המקיימים את אותה דרישה. לכל פולינום קיים שדה פיצול יחיד, עד-כדי איזומורפיזם.

נתון פולינום f, המוגדר מעל שדה בסיס F. שדה הרחבה <math>\ L/F</math> '''מפצל''' את הפולינום, אם אפשר לפרק את f לגורמים לינאריים מעל L, כאמור במבוא. שדה מפצל מינימלי נקרא "שדה פיצולהפיצול". כל שדה מפצל מכיל שדה פיצול מינימלי: אם <math>\ f(x)=\lambda(x-a_1)\cdots (x-a_n)</math> הוא פיצול של הפולינום מעל L, אז גם <math>\ K=F[a_1,\dots,a_n]</math> מפצל, והוא מינימלי מכיוון שהפיצול לגורמים הוא יחיד.

כדי להוכיח שקיימים שדות מפצלים, אפשר להרחיב את F צעד-אחר-צעד, כשבכל פעם [[סיפוח שורש|מספחים לשדה שורש]] של גורם אי-פריק של הפולינום (ומפרקים את הפולינום, מחדש, מעל השדה שהתקבל). באופן הזה אפשר להוכיח שלכל פולינום קיים שדה פיצול מינימלי; שהממד של שדה הפיצול אינו עולה על <math>\ n!</math>, כאשר <math>\ n = \deg(f)</math> היא [[מעלה של פולינום|מעלת הפולינום]]; ששדה הפיצול K הוא יחיד [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] איזומורפיזם מעל F; ושממדו שווה ל- <math>\ |\operatorname{Gal}(K/F)|</math> , כאשר <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> היא [[חבורת גלואה]] של ההרחבה, כאשר הפולינום ספרבילי.